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类似的真人在线斗地主

经过 ,博士学位

如果它们代表相同的线性,则据说两个平方真人在线斗地主是相似的 不同碱基下的操作员。两个类似的真人在线斗地主具有相同的等级, 追踪,决定因素和特征值。

目录

定义

我们从一个定义开始。

主张 A $ kimes k $ matrix A 据说与另一个相似 $ kimes k $ matrix $ b $ 如果并且只有存在 invertible $ kimes k $ matrix $ p $. such that[eq1]

改造 A into $ p ^ { -  1} ap $ 被称为相似性转换。

The matrix $ p $. 被称为基础真人在线斗地主。

与变革的关系

为了了解类似真人在线斗地主与变化之间的关系 基地,让我们审查我们在讲座中学到的主要事情 Change of basis.

Let $ s $ 有限的 vector space and [eq2] a basis for $ s $.

Any vector $ sin s $ 可以表示为一个 linear combination 的 the basis[eq3]在哪里 [eq4] 是标量系数。

线性组合的系数形成所谓的 coordinate vector of $ s $ with respect to $ b $, denoted by [eq5]:[eq6]

如果我们使用不同的基础 [eq7], 然后是任何载体的坐标 $ s $ with respect to $ C $ satisfy[eq8]在哪里 the $ kimes k $ matrix $ s_ {c
ighararow b} $ 被称为基础真人在线斗地主,并允许将坐标转换为 respect to $ C $ 进入坐标 $ b $.

Remember that a 线性 operator $ f:s
ighararow s $ 总是可以由a代表 $ kimes k $ matrix [eq9] such that, for any $ sin s $,[eq10]

换句话说,如果我们预先乘以坐标 $ s $ with respect to $ b $ by [eq11], 我们得到了坐标 $ flutft(s
Ight)$ as a result.

我们已经表明,线性操作员在不同碱基下的真人在线斗地主 通过改变来彼此相关 formula[eq12]

Thus, [eq13] is similar to [eq14]. 该结果解释了我们所提供的相似性的表征 简介:两个类似的真人在线斗地主表示相同的线性操作员 在不同的基础下。

等价关系

相似性定义了方形真人在线斗地主之间的等效关系。

主张 真人在线斗地主相似度是一种等价关系,即给定三个 $ kimes k $ matrices A, $ b $ and $ C $, 以下属性持有:

  1. Reflexivity: A 与自己类似;

  2. Symmetry: if A is similar to $ b $, then $ b $ is similar to A;

  3. Transitivity: if A is similar to $ b $ and $ b $ is similar to $ C $, then A is similar to $ C $.

证明

相似性是反身 because[eq15]在哪里 the identity matrix I 是基础的真人在线斗地主。对称持有,因为 equation[eq16]暗示[eq17]在哪里 $ p ^ { -  1} $ 是基础的真人在线斗地主。传递措施 because[eq18]意味着[eq19]在哪里 $ p_ {1} p_ {2} $ 是基础的真人在线斗地主。

相同的等级

下一个命题显示了相似性的第一重要属性。

主张 如果两个真人在线斗地主相似,那么它们具有相同的 rank.

证明

A and $ b $ be similar, so that $ b = p ^ { -  1} ap $, with $ p $. 可逆(因此全级别)。正如讲座所证明的那样 真人在线斗地主 product and rank, [eq20]因为 $ p $. is full-rank and [eq21]因为 $ p ^ { -  1} $ 是全级别的。所以, A and $ b $ have the same rank.

相同的痕迹

追踪被相似性转换保留。

主张 如果两个真人在线斗地主相似,那么它们具有相同的 trace.

证明

$ b = p ^ { -  1} ap $. 然后,通过痕迹的基本属性,我们有 that[eq22]

同样的决定因素

下一个物业涉及决定因素。

主张 如果两个真人在线斗地主相似,那么它们具有相同的 determinant.

证明

$ b = p ^ { -  1} ap $. We have[eq23]在哪里 in steps $ rame {a} $ and $ rame {b} $ we have used two properties of the determinant:1)两种或更多种产物的决定因素 真人在线斗地主等于其决定因素的产物; 2) [eq24].

相同的特征值

这可能是最重要的财产,以及原因 相似性转化在特征值的理论中是如此重要 eigenvectors.

主张 如果两个真人在线斗地主相似,那么它们具有相同的 eigenvalues, 和 the same algebraic 和几何多重.

证明

A and $ b $ be similar, so that $ b = p ^ { -  1} ap $. Any eigenvalue $ lambda $ of A 解决特征 equation[eq25]尽管 the eigenvalues of $ b $ solve the equation[eq26]在哪里 in steps $ rame {a} $ and $ rame {b} $ we have used two properties of the determinant:1)两种或更多种产物的决定因素 真人在线斗地主等于其决定因素的产物; 2) [eq24]. Thus, $ lambda $ 解决了特征方程 A 如果并且只有它解决了特征方程 $ b $. Stated differently, $ lambda $ is an eigenvalue of A 如果并且只有它是一个特征值 $ b $. Moreover, since A and $ b $ 具有相同的特征方程,他们的特征值具有相同的 代数多重。我们仍然需要证明这种特征值 A and $ b $ 具有相同的几何多重性。注意

[eq28]为了 a given eigenvalue $ lambda $, 选择一个特征向量 $ b $ associated to $ lambda $ and denote it by x. Then,[eq29]如果 我们后乘以等式(1) x, we get[eq30]或者[eq31]在 other words, $ px $ is an eigenvector of A associated to $ lambda $ if and only if x is an eigenvector of $ b $ associated to $ lambda $. Suppose that $ lambda $, as an eigenvector of $ b $, 几何多重等于 $ l $. Choose a basis [eq32] 对于eIgenspace $ b $ associated to $ lambda $ (即,任何特征向量 $ b $ associated to $ lambda $ 可以写成线性组合 [eq33])。 Let Z be the $ kimes l $ 通过邻接载体获得的真人在线斗地主 basis:[eq34]因此, the eigenvectors of $ b $ associated to $ lambda $ satisfy the equation[eq35]在哪里 $ h $ is the $ limes 1 $ 线性组合系数的矢量。如果我们预先乘以两者 方程的两侧 $ p $., we get[eq36]因此 the eigenvectors $ px $ of A associated to $ lambda $ 是可以是的所有载体 written 作为列的线性组合 of $ PZ $. But $ PZ $ has the same rank of Z because $ p $. 是全级别的。因此,它有等级 $ l $. 所以几何多重 $ lambda $, as an eigenvector of A is $ l $, 与特征向量一样 $ b $.

从上一个证明的说明 if[eq37]然后 $ lambda $ is an eigenvalue of A 如果并且只有它是一个特征值 $ b $, but x is an eigenvector of $ b $ associated to $ lambda $ if and only if $ px $ is an eigenvector of A associated to $ lambda $.

一共相似

在线性代数中,我们经常使用“一份相似”一词。

定义 Two $ kimes k $ matrices A and $ b $ 据说且只有在存在一个 $ kimes k $ unitary matrix $ p $. such that [eq38]

因此,如果它们相似,两个真人在线斗地主是相似的 基于变化的真人在线斗地主是统一的。

由于酉真人在线斗地主的倒数 $ p $. is equal to its conjugate transpose $ p ^ {st} $, 可以写入相似性转换 as[eq39]

当酉真人在线斗地主的所有条目时 $ p $. 是真实的,那么真人在线斗地主是正交的, [eq40] 和相似性转变 becomes[eq41]

类似的真人在线斗地主力量

以下主张说明了一个简单但非常有用的财产 similarity.

主张 If two matrices A and $ b $ 是相似的,然后他们的 n - powers $ a ^ {n} $ and $ b ^ {n} $ are similar.

证明

$ b = p ^ { -  1} ap $. We have[eq42]

证明还表明,采用的基础真人在线斗地主 相似性转变 A into $ b $ 是在相似性转换中使用的 $ a ^ {n} $ into $ b ^ {n} $.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "类似的真人在线斗地主", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/similar-matrix.

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