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相似真人在线斗地主

通过 博士

如果两个平方真人在线斗地主表示相同的线性,则称它们相似 不同基础的运营商。两个相似的真人在线斗地主具有相同的等级, 跟踪,行列式和特征值。

目录

定义

我们从定义开始。

主张 A $ Kimes K $ 真人在线斗地主 A 据说与另一个相似 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ B $ 当且仅当存在 可逆的 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ P $ 这样 那[eq1]

转型 A 进入 $ P ^ {-1} AP $ 称为相似度转换。

真人在线斗地主 $ P $ 称为基础变化真人在线斗地主。

与基准变更的关系

为了了解相似真人在线斗地主与变化之间的关系 基础,让我们回顾一下在关于 基础变更.

$ S $ 是有限维的 向量 空间[eq2] a 基础 对于 $ S $.

任何向量 $罪S $ 可以表示为 线性的 组合 的 基础[eq3]哪里 [eq4] 是标量系数。

线性组合的系数形成所谓的 坐标向量$ s $ 关于 $ B $, 表示为 [eq5]:[eq6]

如果我们使用不同的依据 [eq7], 然后任何向量的坐标 $ s $ 关于 $ C $ 满足[eq8]哪里 的 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ S_ {C
ightarrow B} $ 被称为基础变化真人在线斗地主,并允许使用 尊重 $ C $ 相对于 $ B $.

请记住 线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 总是可以用 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 [eq9] 这样,对于任何 $罪S $,[eq10]

换句话说,如果我们将的坐标预乘 $ s $ 关于 $ B $ 通过 [eq11], 我们得到的坐标 $ fleft(s
权)$ 结果是。

我们已经证明了在不同基数下线性算子的真人在线斗地主 通过基础的改变彼此相关 式[eq12]

从而, [eq13] 类似于 [eq14]. 这个结果说明了我们在 上面的介绍:两个相似的真人在线斗地主表示相同的线性算子 在不同的基础上。

等价关系

相似性定义平方真人在线斗地主之间的等价关系。

主张 真人在线斗地主相似度是一个等价关系,即给定三个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 A, $ B $$ C $, 以下属性成立:

  1. 反身性: A 与自身相似;

  2. 对称性:如果 A 类似于 $ B $, 然后 $ B $ 类似于 A;

  3. 传递性:如果 A 类似于 $ B $$ B $ 类似于 $ C $, 然后 A 类似于 $ C $.

证明

相似是自反的 因为[eq15]哪里 的 单位真人在线斗地主 I 是基础变化真人在线斗地主。保持对称是因为 方程[eq16]暗示[eq17]哪里 $ P ^ {-1} $ 是基础变化真人在线斗地主。传递性保持 因为[eq18]意味着[eq19]哪里 $ P_ {1} P_ {2} $ 是基础变化真人在线斗地主。

同等级

下一个命题显示了相似性的第一个重要属性。

主张 如果两个真人在线斗地主相似,则它们具有相同的 .

证明

A$ B $ 相似,这样 $ B = P ^ {-1} AP $, 与 $ P $ 可逆的(因此排名较高)。正如在讲座中所证明的 真人在线斗地主乘积和 秩, [eq20]因为 $ P $ 是全职的 [eq21]因为 $ P ^ {-1} $ 是全职的。因此, A$ B $ 具有相同的等级。

相同的痕迹

跟踪由相似性转换保留。

主张 如果两个真人在线斗地主相似,则它们具有相同的 跟踪.

证明

$ B = P ^ {-1} AP $. 然后,通过轨迹的基本属性,我们有 那[eq22]

相同的行列式

下一个属性与行列式有关。

主张 如果两个真人在线斗地主相似,则它们具有相同的 行列式.

证明

$ B = P ^ {-1} AP $. 我们 有[eq23]哪里 逐步 $ rame {A} $$ rame {B} $ 我们用了两个 属性 行列式:1)两个或多个乘积的行列式 真人在线斗地主等于其行列式的乘积; 2) [eq24].

相同的特征值

这可能是最重要的属性,也是其原因 相似变换在特征值理论中非常重要, 特征向量

主张 如果两个真人在线斗地主相似,则它们具有相同的 特征值,带有 相同 代数的 和几何多重性.

证明

A$ B $ 相似,这样 $ B = P ^ {-1} AP $. 任何特征值 $ lambda $A 解决特征 方程[eq25]而 的特征值 $ B $ 解决 方程[eq26]哪里 逐步 $ rame {A} $$ rame {B} $ 我们用了两个 属性 行列式:1)两个或多个乘积的行列式 真人在线斗地主等于其行列式的乘积; 2) [eq24]. 从而, $ lambda $ 求解特征方程 A 当且仅当它解决了特征方程 $ B $. 换句话说 $ lambda $ 是的特征值 A 当且仅当它是一个特征值 $ B $. 而且,由于 A$ B $ 具有相同的特征方程,其特征值具有相同的 代数多重性。我们仍然需要证明 A$ B $ 具有相同的几何多重性。注意

[eq28]对于 给定的特征值 $ lambda $, 选择一个特征向量 $ B $ 关联到 $ lambda $ 并用 x. 然后,[eq29]如果 我们将等式(1)乘以 x, 我们 得到[eq30]要么[eq31]在 也就是说, $ Px $ 是...的特征向量 A 关联到 $ lambda $ 当且仅当 x 是...的特征向量 $ B $ 关联到 $ lambda $. 假设 $ lambda $, 作为...的特征向量 $ B $, 几何多重性等于 $ L $. 选择一个依据 [eq32] 对于的本征空间 $ B $ 关联到 $ lambda $ (即, $ B $ 关联到 $ lambda $ 可以写成 [eq33])。 让 Z 成为 $ Kimes L $ 通过邻接向量的向量获得的真人在线斗地主 基础:[eq34]从而, 的特征向量 $ B $ 关联到 $ lambda $ 满足 方程[eq35]哪里 $ h $ 是个 $酸橙1 $ 线性组合系数的向量。如果我们都预乘 方程式的边 $ P $, 我们 得到[eq36]从而 特征向量 $ Px $A 关联到 $ lambda $ 是所有可以 书面 作为列的线性组合$ PZ $. 但 $ PZ $ 具有相同的等级 Z 因为 $ P $ 是全职的。因此,它具有等级 $ L $. 所以...的几何多重性 $ lambda $, 作为...的特征向量 A$ L $, 它与...的特征向量相同 $ B $.

从先前的证明中注意到 如果[eq37]然后 $ lambda $ 是的特征值 A 当且仅当它是一个特征值 $ B $, 但 x 是...的特征向量 $ B $ 关联到 $ lambda $ 当且仅当 $ Px $ 是...的特征向量 A 关联到 $ lambda $.

单一相似

在线性代数中,我们经常使用术语“整体相似”。

定义$ Kimes K $ 真人在线斗地主 A$ B $ 当且仅当存在一个 $ Kimes K $ ary真人在线斗地主 $ P $ 这样 [eq38]

因此,如果两个真人在线斗地主相似且它们的真人在线斗地主相同,则它们是unit相似的 基础变化真人在线斗地主是一元的。

由于a真人在线斗地主的逆 $ P $ 等于它的 共轭 转置 $ P ^ {st} $, 可以写出相似变换 如 [eq39]

all真人在线斗地主的所有条目时 $ P $ 是实数,那么真人在线斗地主是正交的 [eq40] 和相似度转换 变成[eq41]

相似的真人在线斗地主幂

以下命题说明了一个简单但非常有用的属性 相似。

主张 如果两个真人在线斗地主 A$ B $ 是相似的,那么他们 n-th 权力 $ A ^ {n} $$ B ^ {n} $ 相似。

证明

$ B = P ^ {-1} AP $. 我们 有[eq42]

证明还表明,在 的相似变换 A 进入 $ B $ 与的相似度转换中使用的相同 $ A ^ {n} $ 进入 $ B ^ {n} $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "相似真人在线斗地主", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/similar-matrix.

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