标准依据是最简单的
基础 的空间
所有
尺寸
向量。它是由
一项等于的向量
其余的
条目等于
.
接下来我们讨论所有空间
尺寸
向量,我们用
.
我们不指定向量是行向量还是列向量,还是
他们的输入是实数还是复数。
定义
让
成为所有人的空间
尺寸
向量。表示为
一个向量
-th
项等于
还有剩余的
条目等于
.
然后,
向量
是
称为
.
标准基础通常也称为规范基础或自然基础。
例
让
成为所有人的空间
向量。然后,标准依据
由三者组成
向量
我们已经定义了标准基础,但是我们还没有证明它确实是 基础。
主张
标准
基础是
空间的基础
在所有
尺寸
向量。
例
让
成为所有人的空间
向量。然后,标准依据
由两个人组成
向量
显然,
没有标量
这样
要么
所以
两个向量不是彼此的倍数,即
线性独立。现在,取任何向量
:
哪里
和
是两个标量。
然后,
在
换句话说,任何向量
可以写成
和
.
标准库和身份矩阵之间存在简单的关系。
主张
让
成为
身份
矩阵:
表示
通过
它的行和
它的列。然后,行
是
所有空间的标准基础的向量
向量和列
是
所有空间的标准基础的向量
向量。
该主张是不言而喻的,因此无需证明。
例
让
成为
身份
矩阵
然后,
哪一个
是空间的标准基础
向量。
哪些基地是 当量 以标准为基础
感觉他们跨越了相同的空间
(全部
尺寸
向量)的标准范围?下一个命题答案
这个问题。
主张
任何一组
线性独立向量是空间的基础
在所有
尺寸
向量。
表示一组
线性独立向量
承担
所有的向量
标准基础的可以写为
:
哪里
是组合的(标量)系数。我们称这个为
假设A1。如果A1成立,那么任何向量
有条目
可以写
如
在
换句话说,任何向量
可以写成一组线性独立的线性组合
属于的向量
.
作为结果,
是基础
.
我们已经证明,如果A1成立,那么
是基础现在,我们需要证明A1成立。证明是矛盾的。
假设A1不成立。然后,标准基础的向量之一
不能写成的向量的线性组合
.
不失一般性地假设
(如果不是,我们可以对向量进行重新编号)。
然后
是
一组线性独立的向量。如果A1通过替换而成立
与
,
然后
是基础
,
这导致了矛盾,因为1)通过
维度定理 ,
所有碱基必须具有相同的基数,但2)的基数
(等于
)
大于标准基础的基数
(
)。
如果A1不成立,则形成一组新的线性独立向量
如果
A1通过更换持有
与
,
那我们就有矛盾了,否则继续前进并形成
.
当我们得到
至
然后
我们知道A1当然成立是因为自然基础属于
.
但这也导致了矛盾(
比...更棒
)。
因此,我们证明了A1必须与
(否则我们有矛盾)。因此,
是基础
.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
编写所有标准集
向量。
基础
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "标准依据", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/standard-basis.