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标准依据

通过 博士

标准依据是最简单的 基础 的空间 所有 K尺寸 向量。它是由 一项等于的向量 1 其余的 $K-1$ 条目等于 0.

目录

定义

接下来我们讨论所有空间 K尺寸 向量,我们用 $ S $. 我们不指定向量是行向量还是列向量,还是 他们的输入是实数还是复数。

定义$ S $ 成为所有人的空间 K尺寸 向量。表示为 $ e_ {k} $ 一个向量 k-th 项等于 1 还有剩余的 $K-1$ 条目等于 0. 然后, K 向量[eq1]是 称为 $ S $.

标准基础通常也称为规范基础或自然基础。

$ S $ 成为所有人的空间 $ 3imes 1 $ 向量。然后,标准依据 $ S $ 由三者组成 向量[eq2]

证明标准依据是基础

我们已经定义了标准基础,但是我们还没有证明它确实是 基础。

主张 标准 基础[eq3]是 空间的基础 $ S $ 在所有 K尺寸 向量。

证明

请记住, $ S $ 是一套 线性地 独立 向量 跨度 $ S $. 取任何向量 $ e_ {k} $. 它不能写为的其他向量的线性组合 E 因为 k-th 所有其他向量的入口是 0, 而 k-th 进入 $ e_ {k} $1. 由于没有向量 E 可以写成其他的线性组合,那么它们是线性的 独立。取任何向量 $罪S $ 并用 [eq4]. 然后 $ s $ 可以写 如 [eq5]那 是,作为规范基础的线性组合(请参见下一个示例 具体示例)。因此,我们证明了规范基础是一组 跨度的线性独立向量 $ S $. 因此,规范基础确实是 $ S $.

$ S $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 向量。然后,标准依据 $ S $ 由两个人组成 向量[eq6]显然, 没有标量 a 这样 [eq7]要么[eq8]所以 两个向量不是彼此的倍数,即 线性独立。现在,取任何向量 $罪S $: [eq9]哪里 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 是两个标量。 然后,[eq10]在 换句话说,任何向量 $ s $ 可以写成 $ s_ {1} $$ s_ {2} $.

标准依据和身份矩阵

标准库和身份矩阵之间存在简单的关系。

主张I 成为 $ Kimes K $ 身份 矩阵:[eq11]表示 通过 [eq12] 它的行和 [eq13] 它的列。然后,行 [eq14]K 所有空间的标准基础的向量 $ 1imes K $ 向量和列 [eq15]K 所有空间的标准基础的向量 $ Kimes 1 $ 向量。

该主张是不言而喻的,因此无需证明。

I 成为 3美金3美金 身份 矩阵[eq16]然后,[eq17]哪一个 是空间的标准基础 $ 3imes 1 $ 向量。

等效基准

哪些基地是 当量 以标准为基础 感觉他们跨越了相同的空间 $ S $ (全部 K尺寸 向量)的标准范围?下一个命题答案 这个问题。

主张 任何一组 K 线性独立向量是空间的基础 $ S $ 在所有 K尺寸 向量。

证明

表示一组 K 线性独立向量 [eq18]承担 所有的向量 [eq19] 标准基础的可以写为 [eq20]:[eq21]哪里 $ eta _ {j} ^ {k} $ 是组合的(标量)系数。我们称这个为 假设A1。如果A1成立,那么任何向量 $罪S $ 有条目 [eq22] 可以写 如 [eq23]在 换句话说,任何向量 $罪S $ 可以写成一组线性独立的线性组合 属于的向量 $ B $. 作为结果, $ B $ 是基础 $ S $. 我们已经证明,如果A1成立,那么 $ B $ 是基础现在,我们需要证明A1成立。证明是矛盾的。 假设A1不成立。然后,标准基础的向量之一 $ S $ 不能写成的向量的线性组合 $ B $. 不失一般性地假设 $ e_ {1} $ (如果不是,我们可以对向量进行重新编号)。 然后[eq24]是 一组线性独立的向量。如果A1通过替换而成立 $ B $$ B_ {1} $, 然后 $ B_ {1} $ 是基础 $ S $, 这导致了矛盾,因为1)通过 维度定理 , 所有碱基必须具有相同的基数,但2)的基数 $ B_ {1} $ (等于 $K+1$) 大于标准基础的基数 (K)。 如果A1不成立,则形成一组新的线性独立向量 [eq25]如果 A1通过更换持有 $ B $$ B_ {2} $, 那我们就有矛盾了,否则继续前进并形成 [eq26]. 当我们得到 至[eq27]然后 我们知道A1当然成立是因为自然基础属于 $ B_ {K} $. 但这也导致了矛盾( $ B_ {K} $ 比...更棒 K)。 因此,我们证明了A1必须与 $ B $ (否则我们有矛盾)。因此, $ B $ 是基础 $ S $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

编写所有标准集 $ 1imes 4 $ 向量。

基础 是[eq28]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "标准依据", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/standard-basis.

这本书

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