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标准依据

通过马可·塔波加（Marco Taboga）博士

标准依据是最简单的基础的空间所有尺寸向量。它是由一项等于的向量其余的条目等于 .

定义
证明标准依据是基础
标准依据和身份矩阵
等效基准
解决的练习

练习1

定义

接下来我们讨论所有空间尺寸向量，我们用 . 我们不指定向量是行向量还是列向量，还是他们的输入是实数还是复数。

定义让成为所有人的空间尺寸向量。表示为 $e_ {k}$ 一个向量 -th 项等于还有剩余的条目等于 . 然后，向量是称为 .

标准基础通常也称为规范基础或自然基础。

例让成为所有人的空间向量。然后，标准依据由三者组成向量 [eq2]

证明标准依据是基础

我们已经定义了标准基础，但是我们还没有证明它确实是基础。

主张标准基础是空间的基础在所有尺寸向量。

证明

请记住，是一套线性地独立向量跨度 . 取任何向量 $e_ {k}$ . 它不能写为的其他向量的线性组合因为 -th 所有其他向量的入口是 , 而 -th 进入 $e_ {k}$ 是 . 由于没有向量可以写成其他的线性组合，那么它们是线性的独立。取任何向量并用 . 然后可以写如那是，作为规范基础的线性组合（请参见下一个示例具体示例）。因此，我们证明了规范基础是一组跨度的线性独立向量 . 因此，规范基础确实是 .

例让成为所有人的空间向量。然后，标准依据由两个人组成向量 [eq6] 显然，没有标量这样要么所以两个向量不是彼此的倍数，即线性独立。现在，取任何向量 : [eq9] 哪里 $s_ {1}$ 和 $s_ {2}$ 是两个标量。然后， [eq10] 在换句话说，任何向量可以写成 $s_ {1}$ 和 $s_ {2}$ .

标准依据和身份矩阵

标准库和身份矩阵之间存在简单的关系。

主张让成为身份矩阵： [eq11] 表示通过它的行和它的列。然后，行是所有空间的标准基础的向量向量和列是所有空间的标准基础的向量向量。

该主张是不言而喻的，因此无需证明。

例让成为身份矩阵 [eq16] 然后， [eq17] 哪一个是空间的标准基础向量。

等效基准

哪些基地是当量以标准为基础感觉他们跨越了相同的空间（全部尺寸向量）的标准范围？下一个命题答案这个问题。

主张任何一组线性独立向量是空间的基础在所有尺寸向量。

证明

表示一组线性独立向量承担所有的向量标准基础的可以写为 : [eq21] 哪里 $eta _ {j} ^ {k}$ 是组合的（标量）系数。我们称这个为假设A1。如果A1成立，那么任何向量有条目可以写如 [eq23] 在换句话说，任何向量可以写成一组线性独立的线性组合属于的向量 . 作为结果，是基础 . 我们已经证明，如果A1成立，那么是基础现在，我们需要证明A1成立。证明是矛盾的。假设A1不成立。然后，标准基础的向量之一不能写成的向量的线性组合 . 不失一般性地假设 $e_ {1}$ （如果不是，我们可以对向量进行重新编号）。然后是一组线性独立的向量。如果A1通过替换而成立与 $B_ {1}$ , 然后 $B_ {1}$ 是基础 , 这导致了矛盾，因为1）通过维度定理 , 所有碱基必须具有相同的基数，但2）的基数 $B_ {1}$ （等于 ) 大于标准基础的基数 (）。如果A1不成立，则形成一组新的线性独立向量如果 A1通过更换持有与 $B_ {2}$ , 那我们就有矛盾了，否则继续前进并形成 . 当我们得到至然后我们知道A1当然成立是因为自然基础属于 $B_ {K}$ . 但这也导致了矛盾（ $B_ {K}$ 比...更棒）。因此，我们证明了A1必须与（否则我们有矛盾）。因此，是基础 .