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形状,注射和自由线性地图

经过 ,博士学位

在此讲座中,我们定义和研究线性地图的一些常见属性, 称为调查,注射性和掠夺性。

A map is said to be:

目录

预备

在进行之前,请记住函数 $f:S
ightarrow T$ between two 线性 spaces $ s $ and $ t $ 将一个和只有一个元素联系起来 $ t $ to each element of $ s $, and the function $ F $. is said to be a 线性 map (or 线性变换)如果只是 if[eq1]为了 any two scalars $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $ and any two vectors $ s_ {1},s_ {2}以s $.

The set $ s $ 被称为域名 $ F $., while $ t $ is the codomain.

其他两个重要概念是:

null空格和范围都是单独的空间 ( subspaces of $ s $ and $ t $ respectively).

形状地图

让我们从定义开始。

定义 Let $ s $ and $ t $ 是两个线性空间。让 $f:S
ightarrow T$ 是一个线性地图。转型 $ F $. 如果只有,只有每一个 $ tin t $, there exists $ sin s $ such that[eq4]

换句话说,每个元素 $ t $ 可以作为一个元素的转变获得 $ s $ through the map $ F $..

When $ F $. 是调整的,我们也经常这么说 $ F $. 是一个线性变换 $ s $ "onto" $ t $.

Since the range of $ F $. 是所有这些值的集合 $fleft( s
ight) $ as $ s $ 在域上变化,那么如果才能才能且仅当其 range and codomain coincide:[eq5]

例子 Let $ s = t $ be the space of all $ 2倍1美元 column vectors having real entries. Let $f:S
ightarrow T$ 是由的线性地图定义 矩阵 product [eq6]在哪里 [eq7]在 为了找到范围 $ F $., denote by $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 一般矢量的两个条目 $ sin s $, so that[eq8]如果 您对我们转换了矩阵乘法的事实感到困惑 into a 线性 combination 列,您可能想要修改讲座 matrix 产品和线性组合。作为 $ s $ 在空间上变化 $ s $, the scalar $ s_ {1} $ 可以承担任何实际价值。因此,范围 $ F $. is the subspace spanned by the vector[eq9]更多的 formally, we have that[eq10]那里 are elements of $ t $ 不属于 $ qtr {rm} {范围} f $. 例如,向量 [eq11]做 not belong to $ qtr {rm} {范围} f $ 因为它不是向量的倍数 [eq12]自从 地图的范围和Codomain不合格,地图不是 surjective.

例子 如果更改矩阵 A 在前面的例子中 to[eq13]然后[eq14]哪一个 is the span of the standard basis 的 the space of $ 2倍1美元 列向量。换句话说,两个矢量跨越了所有 $ t $. As a consequence,[eq15]和 地图是形状的。

墨水地图

我们现在可以定义重点。

定义 Let $ s $ and $ t $ 是两个线性空间。让 $f:S
ightarrow T$ 是一个线性地图。转型 $ F $. 如果只有,对于每两个向量,才能注射注射 $ s,sigma以s $ such that $s
eq sigma $, we have that[eq16]

因此,当两个不同的向量时,地图是注射的 $ s $ 始终有两个不同的图像 $ t $.

注射地图通常也称为“一对一”。

Note that, by an elementary rule of logic,如果我们采取上述内容 implication[eq17]和 我们否定了它,我们获得了等同的 implication[eq18]

例子 如前两个示例一样,考虑所引起的线性图的情况 矩阵乘法。域名 $ s $ is the space of all $ 2倍1美元 列向量和Codomain $ t $ is the space of all $ 3 $ 1 $ 列向量。线性转换 $f:S
ightarrow T$ is defined by [eq19]在哪里[eq20]我们 可以将矩阵产品写为线性 combination:[eq21]在哪里 $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 是两个参赛作品 $ sin s $. 因此,元素 $ qtr {rm} {范围} f $ 是所有可以写成第一个的线性组合的矢量 两个空间标准基础的矢量 $ t $. 特别是,我们有 that[eq22]作为 a consequence, if $s
eq sigma $, 两种矢量通过至少一个条目和转换差异 $ F $. 至少有一个条目也有所不同,这样 [eq23]. Thus, the map $ F $. 是注射的。注意 $ F $. 不是形状的,因为例如 vector[eq24]不能 作为标准的前两个矢量的线性组合 基础(因此至少有一个Codomain的元素 属于范围 $ F $.)。

例子 修改前面示例中的函数 setting[eq25]所以 that[eq26][eq27]我们 have that[eq28][eq29]所以, 我们已经找到了一个案例 $s
eq sigma $ but [eq30]. 我们可以得出结论地图 $ F $. is not injective.

如果它的内核是单例,则映射是注射的

我们可以通过检查内核来确定地图是否是注射的。

主张 Let $ s $ and $ t $ 是两个线性空间。线性地图 $f:S
ightarrow T$ 如果它的内核仅包含零向量,则是注射的,即 is,[eq31]

证明

线性地图的内核 $ F $. 始终包括零向量(参见讲座 kernels) because[eq32]认为 that $ F $. 是注射的。然后,可以没有其他元素 $ sin s $ such that $s
eq 0$ and [eq33]所以,[eq34]哪一个 证明了“只有”部分主张。现在,假设内核包含 只有零载体。拿两个向量 $ s,sigma以s $ such that[eq35]然后, by the linearity of $ F $. we have that[eq36]这 意味着载体 $ s-sigma $ 属于内核。但我们假设内核仅包含 零矢量。作为结果, [eq37]我们 have just proved that[eq38]作为 之前讨论过的是,这种含义意味着 $ F $. 是注射的。后一种事实证明了“如果”部分主张。

自由地图

我们结束了不需要进一步的解释或示例的定义。

定义 Let $ s $ and $ t $ 是两个线性空间。线性地图 $f:S
ightarrow T$ 据说只有,如果它既是形状和注射的,则才是自由来的。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

正如我们在讲座中解释的那样 linear maps,线性函数 $f:S
ightarrow T$ 完全由所花的值完全指定 $ F $. on a basis for $ s $.

Let [eq39] be a basis for $ s $ and [eq40] be a basis for $ t $.

Specify the function $ F $. as follows:[eq41]

Is the function $ F $. surjective?

解决方案

矢量 $ c_ {2} $ 是基础的成员 $ C $. Therefore $ c_ {2}以t $. Since $ b $ is a basis for $ s $, 域的任何元素 $ sin s $ can be written as[eq42]在哪里 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $ 是标量。因此,范围的元素 $ F $. take the form[eq43]在 其他单词,该范围的元素是可以写为线性的元素 combinations of $ c_ {1} $ and $ c_ {3} $. But $ c_ {2} $ 不能写成线性组合 $ c_ {1} $ and $ c_ {3} $ 因为完全形成了基础,所以它们是线性独立的。 Thus, $ c_ {2} $ 属于Codomain $ F $. 但不是它的范围。因此,Codomain和Range不一致。作为一个 结果,功能 $ F $. is not surjective.

练习2

确定先前练习中定义的功能是注射的。

解决方案

认为 $ s,sigma以s $ are such that $s
eq sigma $. Then, by the uniqueness of 基础上的代表, 我们有 that[eq44]在哪里 [eq45] 是标量,也不能这两者 $ s_ {1} = sigma _ {1} $ and $ s_ {2} = sigma _ {2} $. Therefore,[eq46]在哪里 我们断言,最后一个表达式与零不同,因为:1) $c_{1}
eq 0$ and $c_{2}
eq 0$ because $ c_ {1} $ and $ c_ {2} $ 是基础的成员; 2)这两者都不是 $ s_ {1} = sigma _ {1} $ and $ s_ {2} = sigma _ {2} $. Therefore, [eq47]我们 刚刚证明了这一点 [eq48]所以 $ F $. is injective.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "形状,注射和自由线性地图", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/surjective-injective-bijective-linear-maps.

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