在本讲座中,我们定义并研究了线性图的一些常见属性, 称为外射性,内射性和双射性。
一张地图据说是:
如果其范围(即它实际采用的一组值)一致,则为否定的 与其共域(即可能包含的一组值);
如果将领域的不同元素映射到 共域;
双射的,如果既是单射的又是射影的。
在继续之前,请记住一个功能
在两个之间 线性空间
和
关联一个且仅一个元素
对的每个元素
,
和功能
据说是 线性图 (要么
线性变换)当且仅
如果
对于
任何两个标量
和
和任何两个向量
.
套装
被称为
,
而
是共域。
其他两个重要概念是:
空空间和范围本身都是线性空间
( 子空间 的
和
分别)。
让我们从定义开始。
定义
让
和
是两个线性空间。让
是线性图。转型
据说,当且仅当,对于每个
,
那里存在
这样
那
换句话说,
可以作为元素的变换获得
通过地图
.
什么时候
是排斥的,我们也经常说
是从
“上”
.
由于范围
是由...获取的所有值的集合
如
在整个域中变化,则线性映射是当且仅当线性映射是
范围和共域
重合:
例
让
成为所有人的空间
列向量 有真实
条目。让
是由定义的线性图
矩阵乘积
哪里
在
为了找到范围
,
用...表示
和
通用向量的两个条目
,
所以
那
如果
您对我们已经转换了矩阵乘法的事实感到困惑
变成一个 线性组合
的列数,您可能需要修改
矩阵
产品和线性组合。如
随空间变化
,
标量
可以具有任何实际价值。因此,范围
是子空间 跨越 的
向量
更多
正式地,我们有
那
那里
是...的元素
不属于
.
例如,向量
确实
不属于
因为它不是向量的倍数
以来
地图的范围和共域不重合,地图不是
形容词。
例
如果改变矩阵
在前面的例子中
至
然后
哪一个
是的跨度 标准
基础 的空间
列向量。换句话说,两个向量跨越了所有
.
作为一个
后果,
和
地图是射影。
现在我们可以定义内射性。
定义
让
和
是两个线性空间。让
是线性图。转型
当且仅当每两个向量被称为是单射的
这样
,
我们有
那
因此,当两个不同的向量在
总是有两个不同的图像
.
内射图通常也称为“一对一”。
请注意,
初级的
逻辑规则,如果我们采取上述
意义和
我们否定它,我们得到等效
意义
例
与前面的两个示例一样,请考虑由
矩阵乘法。域
是所有空间
列向量和共域
是所有空间
列向量。线性变换
由定义
哪里
我们
可以将矩阵乘积写为线性
组合:
哪里
和
是的两个条目
.
因此,
是所有可以写成第一个线性组合的向量
空间标准基础的两个向量
.
特别是,我们有
那
如
结果,如果
,
这两个向量至少相差一个入口,并且它们的转换通过
也至少相差一个条目,因此
.
因此,地图
是内射的。注意
并不是排斥的,因为例如
向量
不能
作为标准的前两个向量的线性组合而获得
基础(因此,共域中至少有一个元素没有
属于范围
)。
例
修改上一个示例中的函数,方法是
设置所以
那
组
我们
有
那
和
因此,
我们发现了一个案例
但
.
我们可以得出结论,该地图
不是内射的
我们可以通过检查其内核来确定地图是否具有内射性。
主张
让
和
是两个线性空间。线性图
当且仅当其内核仅包含零向量时,它才是内射的
是的
线性图的核
始终包含零向量(请参阅
内核)
因为
假设
那
是内射的。这样就没有其他元素
这样
和
因此,
哪一个
证明命题的“仅当”部分。现在,假设内核包含
仅零向量。取两个向量
这样
那
然后,
通过线性
我们有
那
这个
暗示向量
属于内核。但是我们假设内核仅包含
零向量。作为结果,
我们
刚刚证明
那
如
前面已经讨论过,这意味着
是内射的。后一个事实证明了命题的“如果”部分。
我们以不需要进一步解释或示例的定义作为结束。
定义
让
和
是两个线性空间。线性图
当且仅当它既是形容词又是形容词时,才被称为双射的。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
正如我们在关于 线性的
地图,线性函数
由所采用的值完全指定
在一个 基础 对于
.
让
作为...的基础
和
作为...的基础
.
指定功能
如
如下:
是功能
形容词?
向量
是基础的成员
.
因此
.
以来
是基础
,
域的任何元素
可以写
如
哪里
和
是标量。因此,元素的范围
拿
形成
在
换句话说,范围的元素是那些可以写成线性的元素
的组合
和
.
但
不能写成以下形式的线性组合
和
因为它们总共构成了基础,所以它们是线性独立的。
从而,
属于的共域
但没有达到其范围。因此,共域和范围不一致。作为一个
结果,功能
不是排斥的。
确定上一练习中定义的功能是否是内射的。
假设
如此
.
然后,通过 的独特性
根据基础的表示, 我们有
那
哪里
是标量,并且不能同时是
和
.
因此,
哪里
我们断言最后一个表达式不同于零,因为:1)
和
因为
和
是基础成员; 2)不能两者兼而有之
和
.
因此,
我们
刚刚证明
因此
是内射的。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "射影,内射和双射线性图", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/surjective-injective-bijective-linear-maps.