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射影,内射和双射线性图

通过 博士

在本讲座中,我们定义并研究了线性图的一些常见属性, 称为外射性,内射性和双射性。

一张地图据说是:

目录

初赛

在继续之前,请记住一个功能 $f:S
ightarrow T$ 在两个之间 线性空间 $ S $$ T $ 关联一个且仅一个元素 $ T $ 对的每个元素 $ S $, 和功能 $ f $ 据说是 线性图 (要么 线性变换)当且仅 如果[eq1]对于 任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 和任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2}.

套装 $ S $ 被称为 $ f $, 而 $ T $ 是共域。

其他两个重要概念是:

空空间和范围本身都是线性空间 ( 子空间$ S $$ T $ 分别)。

射影图

让我们从定义开始。

定义$ S $$ T $ 是两个线性空间。让 $f:S
ightarrow T$ 是线性图。转型 $ f $ 据说,当且仅当,对于每个 $锡T $, 那里存在 $罪S $ 这样 那[eq4]

换句话说, $ T $ 可以作为元素的变换获得 $ S $ 通过地图 $ f $.

什么时候 $ f $ 是排斥的,我们也经常说 $ f $ 是从 $ S $ “上” $ T $.

由于范围 $ f $ 是由...获取的所有值的集合 $fleft( s
ight) $$ s $ 在整个域中变化,则线性映射是当且仅当线性映射是 范围和共域 重合:[eq5]

$ S = T $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 列向量 有真实 条目。让 $f:S
ightarrow T$ 是由定义的线性图 矩阵乘积 [eq6]哪里 [eq7]在 为了找到范围 $ f $, 用...表示 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 通用向量的两个条目 $罪S $, 所以 那[eq8]如果 您对我们已经转换了矩阵乘法的事实感到困惑 变成一个 线性组合 的列数,您可能需要修改 矩阵 产品和线性组合。如 $ s $ 随空间变化 $ S $, 标量 $ s_ {1} $ 可以具有任何实际价值。因此,范围 $ f $ 是子空间 跨越 的 向量[eq9]更多 正式地,我们有 那[eq10]那里 是...的元素 $ T $ 不属于 $ QTR {rm} {range} f $. 例如,向量 [eq11]确实 不属于 $ QTR {rm} {range} f $ 因为它不是向量的倍数 [eq12]以来 地图的范围和共域不重合,地图不是 形容词。

如果改变矩阵 A 在前面的例子中 至[eq13]然后[eq14]哪一个 是的跨度 标准 基础 的空间 $ 2imes 1 $ 列向量。换句话说,两个向量跨越了所有 $ T $. 作为一个 后果,[eq15]和 地图是射影。

内射图

现在我们可以定义内射性。

定义$ S $$ T $ 是两个线性空间。让 $f:S
ightarrow T$ 是线性图。转型 $ f $ 当且仅当每两个向量被称为是单射的 $ s,S $ sigma 这样 $s
eq sigma $, 我们有 那[eq16]

因此,当两个不同的向量在 $ S $ 总是有两个不同的图像 $ T $.

内射图通常也称为“一对一”。

请注意, 初级的 逻辑规则,如果我们采取上述 意义[eq17]和 我们否定它,我们得到等效 意义[eq18]

与前面的两个示例一样,请考虑由 矩阵乘法。域 $ S $ 是所有空间 $ 2imes 1 $ 列向量和共域 $ T $ 是所有空间 $ 3imes 1 $ 列向量。线性变换 $f:S
ightarrow T$ 由定义 [eq19]哪里[eq20]我们 可以将矩阵乘积写为线性 组合:[eq21]哪里 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 是的两个条目 $罪S $. 因此, $ QTR {rm} {range} f $ 是所有可以写成第一个线性组合的向量 空间标准基础的两个向量 $ T $. 特别是,我们有 那[eq22]如 结果,如果 $s
eq sigma $, 这两个向量至少相差一个入口,并且它们的转换通过 $ f $ 也至少相差一个条目,因此 [eq23]. 因此,地图 $ f $ 是内射的。注意 $ f $ 并不是排斥的,因为例如 向量[eq24]不能 作为标准的前两个向量的线性组合而获得 基础(因此,共域中至少有一个元素没有 属于范围 $ f $)。

修改上一个示例中的函数,方法是 设置[eq25]所以 那[eq26][eq27]我们 有 那[eq28][eq29]因此, 我们发现了一个案例 $s
eq sigma $[eq30]. 我们可以得出结论,该地图 $ f $ 不是内射的

当且仅当其内核为单例时,映射才是内射的

我们可以通过检查其内核来确定地图是否具有内射性。

主张$ S $$ T $ 是两个线性空间。线性图 $f:S
ightarrow T$ 当且仅当其内核仅包含零向量时,它才是内射的 是的[eq31]

证明

线性图的核 $ f $ 始终包含零向量(请参阅 内核) 因为[eq32]假设 那 $ f $ 是内射的。这样就没有其他元素 $罪S $ 这样 $s
eq 0$[eq33]因此,[eq34]哪一个 证明命题的“仅当”部分。现在,假设内核包含 仅零向量。取两个向量 $ s,S $ sigma 这样 那[eq35]然后, 通过线性 $ f $ 我们有 那[eq36]这个 暗示向量 $ s-sigma $ 属于内核。但是我们假设内核仅包含 零向量。作为结果, [eq37]我们 刚刚证明 那[eq38]如 前面已经讨论过,这意味着 $ f $ 是内射的。后一个事实证明了命题的“如果”部分。

双射图

我们以不需要进一步解释或示例的定义作为结束。

定义$ S $$ T $ 是两个线性空间。线性图 $f:S
ightarrow T$ 当且仅当它既是形容词又是形容词时,才被称为双射的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

正如我们在关于 线性的 地图,线性函数 $f:S
ightarrow T$ 由所采用的值完全指定 $ f $ 在一个 基础 对于 $ S $.

[eq39] 作为...的基础 $ S $[eq40] 作为...的基础 $ T $.

指定功能 $ f $ 如 如下:[eq41]

是功能 $ f $ 形容词?

向量 $ c_ {2} $ 是基础的成员 $ C $. 因此 T $$ c_ {2}. 以来 $ B $ 是基础 $ S $, 域的任何元素 $罪S $ 可以写 如 [eq42]哪里 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 是标量。因此,元素的范围 $ f $ 拿 形成[eq43]在 换句话说,范围的元素是那些可以写成线性的元素 的组合 $ c_ {1} $$ c_ {3} $. 但 $ c_ {2} $ 不能写成以下形式的线性组合 $ c_ {1} $$ c_ {3} $ 因为它们总共构成了基础,所以它们是线性独立的。 从而, $ c_ {2} $ 属于的共域 $ f $ 但没有达到其范围。因此,共域和范围不一致。作为一个 结果,功能 $ f $ 不是排斥的。

练习2

确定上一练习中定义的功能是否是内射的。

假设 $ s,S $ sigma 如此 $s
eq sigma $. 然后,通过 的独特性 根据基础的表示, 我们有 那[eq44]哪里 [eq45] 是标量,并且不能同时是 $ s_ {1} = sigma _ {1} $$ s_ {2} = sigma _ {2} $. 因此,[eq46]哪里 我们断言最后一个表达式不同于零,因为:1) $c_{1}
eq 0$$c_{2}
eq 0$ 因为 $ c_ {1} $$ c_ {2} $ 是基础成员; 2)不能两者兼而有之 $ s_ {1} = sigma _ {1} $$ s_ {2} = sigma _ {2} $. 因此, [eq47]我们 刚刚证明 [eq48]因此 $ f $ 是内射的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "射影,内射和双射线性图", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/surjective-injective-bijective-linear-maps.

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