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线性方程和矩阵系统

通过 博士

在本讲座中,我们展示了如何 矩阵和向量 能够 用于表示和分析线性方程组。

目录

线性方程组

一个系统 K 线性方程  $ L $ 未知数是一组 方程式 [eq1] 哪里 [eq2] $ L $ 未知数,以及  $ A_ {kl} $ (对于  $ k = 1,ldots,K,$  $ l = 1,ldots,L $ ) 和  $ B_ {k} $ (对于  $ k = 1,ldots,K $ ) 是已知的常数。

解决方案

未知数是我们想要找到的值。解决一个系统 线性方程意味着寻找一组值 [eq2] 这样所有方程式都得到满足这样的集合称为解 系统。

定义系统 [eq4] 它 是2个未知数中的2个方程的系统。系统解决方案 是 [eq5] 哪一个 可以通过将这两个值代入 系统: [eq6]

通常,不能保证存在解决方案。如果存在,则不存在 保证是唯一的。因此,线性方程的理论是 关注三个主要方面:

系统的矩阵表示

以上系统 K 线性方程  $ L $ 通过使用矩阵可以将未知数紧凑地表示为 如下: [eq7] 哪里:

要了解表示的工作原理,请注意  $ Ax $ 是一个 Kx1 其向量 k -th 元素等于 点 产品 k -th 排 Ax, 那 是的 [eq10]

因此, [eq11]

系统 [eq12] 能够 被代表 如 [eq13] 哪里 的  2元2元 矩阵 是 [eq14] $ 2imes 1 $ 未知向量 是 [eq15] 和 的  $ 2imes 1 $ 常数项的向量 是 [eq16]

解决方案的存在

通过以矩阵形式编写线性方程组,我们可以轻松地提供 解决方案存在的一般条件。

主张 线性系统 [eq13] 具有 一个解决方案,当且仅当  $ b $ 属于 跨度 列数 的 A.

证明

产品  $ Ax $ 能够 被解释为线性组合 的列数 A, 取自 x. 因此,求解系统的问题等于找到一个向量 系数 x 可以让我们写  $ b $ 作为以下各列的线性组合 A. 但  $ b $ 可以写成以下各列的线性组合 A 当且仅当它属于他们的跨度。

解决方案的独特性

现在,我们给出解决方案唯一性的一般条件。

主张 如果线性系统 [eq13] 具有 一个解决方案,则当且仅当 A 线性地 独立  $。$

证明

让我们首先证明if部分。我们有 以上证明了只有当且仅当有解决方案时,  $ b $ 属于的列范围 A. 如果列 A 是线性独立的,那么它们形成一个 基础 为他们的跨度。 此外,将跨度的任何向量表示为线性 组合的基础是独一无二的。因此,如果  $ A,$ 是 线性独立,它们只有一种线性组合  $ b $ 结果,就是系统的解决方案是唯一的。现在证明 唯一的一部分。我们将证明,如果列不是 独立,那么有不止一种解决方案。让  $ x_ {0} $ 成为解决方案 是 [eq19] 什么时候 的列 A 是线性相关的,存在一个非零向量  $ x_ {1} $ 那 满足 [eq20] 如 结果,有无限的解决方案,因为 $ x_ {0} + lpha x_ {1} $ 是任何标量的系统解决方案  $ lpha $ :[eq21]

多种解决方案

关于多重解决方案的以下命题成立。

主张 如果线性系统 [eq13] 具有 解决方案和 A 不是线性独立的,那么就有无限的解。

证明

请参阅先前的证明。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

查找系统的矩阵表示 [eq23]

系统可以表示 如 [eq13] 哪里 的  2元3元 矩阵 是 [eq25] $ 3imes 1 $ 未知向量 是 [eq26] 和 的  $ 2imes 1 $ 常数项的向量 是 [eq27]

练习2

定义 [eq28] 写 向下的方程 系统 [eq13]

系统的两个方程 是 [eq30]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性方程和矩阵系统", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/systems-of-linear-equations-and-matrices.

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