在本讲座中,我们展示了如何 矩阵和向量 能够 用于表示和分析线性方程组。
一个系统
线性方程
未知数是一组
方程式
哪里
是
未知数,以及
(对于
和
)
和
(对于
)
是已知的常数。
未知数是我们想要找到的值。解决一个系统
线性方程意味着寻找一组值
这样所有方程式都得到满足这样的集合称为解
系统。
例
定义系统
它
是2个未知数中的2个方程的系统。系统解决方案
是
哪一个
可以通过将这两个值代入
系统:
通常,不能保证存在解决方案。如果存在,则不存在 保证是唯一的。因此,线性方程的理论是 关注三个主要方面:
推导存在线性系统解的条件;
了解解决方案是否唯一,以及多个解决方案如何 彼此相关;
查找技术,可以找到线性系统的解。
以上系统
线性方程
通过使用矩阵可以将未知数紧凑地表示为
如下:
哪里:
是个
未知向量
;
是个
矩阵
-th
元件
是乘的常数
在里面
-th
系统方程
是个
常数向量
.
要了解表示的工作原理,请注意
是一个
其向量
-th
元素等于 点
产品 的
-th
排
和
,
那
是的
因此,
例
系统
能够
被代表
如
哪里
的
矩阵
是
的
未知向量
是
和
的
常数项的向量
是
通过以矩阵形式编写线性方程组,我们可以轻松地提供 解决方案存在的一般条件。
主张
线性系统
具有
一个解决方案,当且仅当
属于 跨度 列数
的
.
产品
能够
被解释为线性组合 的列数
,
取自
.
因此,求解系统的问题等于找到一个向量
系数
可以让我们写
作为以下各列的线性组合
.
但
可以写成以下各列的线性组合
当且仅当它属于他们的跨度。
现在,我们给出解决方案唯一性的一般条件。
主张
如果线性系统
具有
一个解决方案,则当且仅当
是 线性地
独立
让我们首先证明if部分。我们有
以上证明了只有当且仅当有解决方案时,
属于的列范围
.
如果列
是线性独立的,那么它们形成一个
基础 为他们的跨度。
此外,将跨度的任何向量表示为线性
组合的基础是独一无二的。因此,如果
是
线性独立,它们只有一种线性组合
结果,就是系统的解决方案是唯一的。现在证明
唯一的一部分。我们将证明,如果列不是
独立,那么有不止一种解决方案。让
成为解决方案
是
什么时候
的列
是线性相关的,存在一个非零向量
那
满足
如
结果,有无限的解决方案,因为
是任何标量的系统解决方案
:
关于多重解决方案的以下命题成立。
主张
如果线性系统
具有
解决方案和
不是线性独立的,那么就有无限的解。
请参阅先前的证明。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
查找系统的矩阵表示
系统可以表示
如 哪里
的
矩阵
是
的
未知向量
是
和
的
常数项的向量
是
定义 写
向下的方程
系统
系统的两个方程
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "线性方程和矩阵系统", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/systems-of-linear-equations-and-matrices.