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真人在线斗地主的痕迹

通过 博士

正方形的痕迹 真人在线斗地主 是它的总和 对角元素。

跟踪具有几个属性,在证明时通常非常有用 得出真人在线斗地主代数及其应用。

目录

定义

让我们从一个正式的定义开始。

定义A 成为 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。然后,其轨迹由 [eq1] 要么 [eq2], 是对角线的总和 元素:[eq3]

例子

以下是一些示例。

定义 真人在线斗地主[eq4]然后, 它的踪影 是[eq5]

定义 真人在线斗地主[eq6]然后, 它的踪影 是[eq7]

物产

以下小节报告了跟踪运算符的一些有用属性。

一笔钱

两个真人在线斗地主之和的迹线等于它们的迹线之和。

主张A$ B $ 是两个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。然后, [eq8]

证明

请记住,两个真人在线斗地主之和为 通过将一个真人在线斗地主的每个元素与相应元素相加来执行 其他真人在线斗地主(请参阅 真人在线斗地主加法)。作为一个 后果,[eq9]

跟踪标量倍数

下一个命题告诉我们当真人在线斗地主为 乘以标量。

主张A 成为 $ Kimes K $ 真人在线斗地主和 $ lpha $ 标量。 然后,[eq10]

证明

请记住,真人在线斗地主的乘法 通过将真人在线斗地主的每个项乘以给定来执行标量 标量(请参阅 乘法 标量真人在线斗地主)。作为一个 后果,[eq11]

线性组合的轨迹

上面的两个属性(总和和标量倍数的迹线)表示 痕迹 线性的 组合 等于迹线的线性组合。

主张A$ B $ 是两个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主和 $ lpha $$ eta $ 两个标量。然后, [eq12]

真人在线斗地主转置的轨迹

转置真人在线斗地主不会更改其轨迹。

主张A 成为 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。 然后,[eq13]

证明

真人在线斗地主的踪迹是其总和 对角元素,但换位使对角元素保持不变。

产品痕迹

下一个命题涉及真人在线斗地主乘积的痕迹。

主张A 成为 $ Kimes L $ 真人在线斗地主和 $ B $ 一个 $石灰K $ 真人在线斗地主。 然后,[eq14]

证明

注意 $ AB $ 是一个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主和 $ BA $ 是一个 $石灰L $ 真人在线斗地主。 然后,[eq15]哪里 逐步 $ rame {A} $$ rame {B} $ 我们已经使用了 定义 真人在线斗地主乘积尤其是以下事实 [eq16] 等于之间的点积 k-th 排 Ak-th 的列 $ B $, 和 [eq17] 等于之间的点积 $ l $-th 排 $ B $$ l $-th 的列 A.

标量的痕迹

一个琐碎但经常有用的特性是 标量等于它的 跟踪 因为标量可以被认为是 $ 1imes 1 $ 具有唯一对角线元素的真人在线斗地主,该对角线元素又等于轨迹。

此属性通常用于将点积写为迹线。

A 成为 $ 1imes K $ 行向量和 $ B $ a Kx1 列向量。然后,产品 $ AB $ 是标量, 和[eq18]哪里 在最后一步中,我们使用了关于 痕迹。因此,我们已经能够写出标量 $ AB $ 作为的痕迹 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ BA $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 成为 3美金3美金 真人在线斗地主定义 通过[eq19]找 它的踪迹。

通过将对角线元素相加,我们 获得[eq20]

练习2

A 成为 $ Kimes K $ 真人在线斗地主和 x a Kx1 向量。写 产品[eq21]如 二的乘积的痕迹 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。

以来 $ x ^ {op} Ax $ 是标量,我们有 [eq22]此外, $ x ^ {op} A $$ 1imes K $xKx1. 因此,[eq23]哪里 都 $ xx ^ {op} $A$ Kimes K $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主的痕迹", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/trace-of-a-matrix.

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