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真人在线斗地主的痕迹

通过 博士

正方形的痕迹 真人在线斗地主 是它的总和 对角元素。

跟踪具有几个属性，在证明时通常非常有用 得出真人在线斗地主代数及其应用。

目录

目录

  1. 定义

  2. 例子

  3. 物产

    1. 一笔钱

    2. 跟踪标量倍数

    3. 线性组合的轨迹

    4. 真人在线斗地主转置的轨迹

    5. 产品痕迹

    6. 标量的痕迹

  4. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

定义

让我们从一个正式的定义开始。

定义 让 A 成为 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。然后，其轨迹由 [eq1] 要么 [eq2], 是对角线的总和 元素：[eq3]

例子

以下是一些示例。

例 定义 真人在线斗地主[eq4]然后， 它的踪影 是[eq5]

例 定义 真人在线斗地主[eq6]然后， 它的踪影 是[eq7]

物产

以下小节报告了跟踪运算符的一些有用属性。

一笔钱

两个真人在线斗地主之和的迹线等于它们的迹线之和。

主张 让 A 和 $ B $ 是两个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。然后， [eq8]

证明

请记住，两个真人在线斗地主之和为 通过将一个真人在线斗地主的每个元素与相应元素相加来执行 其他真人在线斗地主（请参阅 真人在线斗地主加法）。作为一个 后果，[eq9]

跟踪标量倍数

下一个命题告诉我们当真人在线斗地主为 乘以标量。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 真人在线斗地主和 $ lpha $ 标量。 然后，[eq10]

证明

请记住，真人在线斗地主的乘法 通过将真人在线斗地主的每个项乘以给定来执行标量 标量（请参阅 乘法 标量真人在线斗地主）。作为一个 后果，[eq11]

线性组合的轨迹

上面的两个属性（总和和标量倍数的迹线）表示 痕迹 线性的 组合 等于迹线的线性组合。

主张 让 A 和 $ B $ 是两个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主和 $ lpha $ 和 $ eta $ 两个标量。然后， [eq12]

真人在线斗地主转置的轨迹

转置真人在线斗地主不会更改其轨迹。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。 然后，[eq13]

证明

真人在线斗地主的踪迹是其总和 对角元素，但换位使对角元素保持不变。

产品痕迹

下一个命题涉及真人在线斗地主乘积的痕迹。

主张 让 A 成为 $ Kimes L $ 真人在线斗地主和 $ B $ 一个 $石灰K $ 真人在线斗地主。 然后，[eq14]

证明

注意 $ AB $ 是一个 $ Kimes K $ 真人在线斗地主和 $ BA $ 是一个 $石灰L $ 真人在线斗地主。 然后，[eq15]哪里 逐步 $ rame {A} $ 和 $ rame {B} $ 我们已经使用了 定义 真人在线斗地主乘积尤其是以下事实 [eq16] 等于之间的点积 k-th 排 A 和 k-th 的列 $ B $, 和 [eq17] 等于之间的点积 $ l $-th 排 $ B $ 和 $ l $-th 的列 A.

标量的痕迹

一个琐碎但经常有用的特性是 标量等于它的 跟踪 因为标量可以被认为是 $ 1imes 1 $ 具有唯一对角线元素的真人在线斗地主，该对角线元素又等于轨迹。

此属性通常用于将点积写为迹线。

例 让 A 成为 $ 1imes K $ 行向量和 $ B $ a Kx1 列向量。然后，产品 $ AB $ 是标量， 和[eq18]哪里 在最后一步中，我们使用了关于 痕迹。因此，我们已经能够写出标量 $ AB $ 作为的痕迹 $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ BA $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 A 成为 3美金3美金 真人在线斗地主定义 通过[eq19]找 它的踪迹。

解

通过将对角线元素相加，我们 获得[eq20]

练习2

让 A 成为 $ Kimes K $ 真人在线斗地主和 x a Kx1 向量。写 产品[eq21]如 二的乘积的痕迹 $ Kimes K $ 真人在线斗地主。

解

以来 $ x ^ {op} Ax $ 是标量，我们有 [eq22]此外， $ x ^ {op} A $ 是 $ 1imes K $ 和 x 是 Kx1. 因此，[eq23]哪里 都 $ xx ^ {op} $ 和 A 是 $ Kimes K $.

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主的痕迹", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/trace-of-a-matrix.

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