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三角矩阵

通过 博士

一个正方形 矩阵 据说是 是:

三角矩阵经常出现在线性代数和 线性的 系统 。因此,值得详细研究它们的特性, 我们在下面做。

目录

定义

形式定义如下。

定义 A  $ Kimes K $ 矩阵  $ L $ 当且仅当下三角  $ L_ {ij} = 0 $ 每当 $j>i$.

请记住,  $ Kimes K $ 方阵  $ L $ 是所有条目的集合,以使它们的行索引和列索引一致, 那就是 组 [eq1]

因此,在下三角矩阵中,主元素上方的所有元素 对角线(即列索引为  $ j $ 大于行索引  $ i $ ) 为零。

定义 A  $ Kimes K $ 矩阵  美元 当且仅当是上三角  $ U_ {ij} = 0 $ 每当 $j<i$.

因此,在上三角矩阵中,主对角线以下的所有元素 (即那些其列索引为  $ j $ 小于行索引 i) 为零。

例子

以下是三角形矩阵的一些示例。

考虑一下  3美金3美金 矩阵 [eq2] 的 主对角线上的条目是 [eq3] 的 主对角线上方的所有条目 零: [eq4] 因此, 矩阵是较低的三角形。

定义  4美金4美金 矩阵 [eq5] 的 主对角线上的条目是 [eq6] 的 主对角线以下的条目都是 零: [eq7] 因此, 矩阵是上三角形。

以下各节报告了三角形满足的一些特性 矩阵。

三角形矩阵的转置为三角形

主张 下三角矩阵的转置为上三角。

证明

假设  $ L $ 是较低的三角形,因此  $ L_ {ij} = 0 $ 每当 $j>i$. 根据定义,转置的条目  $ L ^ {op} $ 满足 [eq8] 因此, [eq9] 每当 $j>i$. 因此,  $ L ^ {op} $ 是上三角形。

主张 上三角矩阵的转置是下三角。

证明

类似于上一个。

两个三角形矩阵的乘积是三角形

主张 两个下三角矩阵的乘积是下三角。

证明

假设 A $ B $ 是两个  $ Kimes K $ 下三角矩阵。我们需要证明 那 [eq10] 每当 $j>i$. 但当 $j>i$, 我们有 那 [eq11] 哪里: 在步  $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实  $ B_ {kj} = 0 $ 因为  $ kleq我 <j$; 在步  $ rame {B} $ 我们使用了这样一个事实  $ A_ {ik} = 0 $ 因为 $i<k$.

主张 两个上三角矩阵的乘积是上三角。

证明

该证明与前一个类似。

如果三角矩阵的对角线是可逆的 entries are non-zero

主张 三角矩阵(上方或下方)为 可逆的 当且仅当全部 其主对角线上的条目为非零。

证明

让我们首先证明“仅当”部分。 假设一个  $ Kimes K $ 下三角矩阵  $ L $ 在行的主对角线上有零项 k, 那 是的 [eq12] 考虑 的  $ kimes K $ 子矩阵  $ B $ 由第一个 k 的行  $ L $ . 的 k -th 的列  $ B $ 为零,因为  $ L_ {kk} = 0 $ , 并且其右边的所有列均为零,因为  $ L $ 是较低的三角形。然后,  $ B $ 最多 $k-1$ 非零列。结果,它最多 $k-1$ 线性独立 列。因此, 列等级 最多 $k-1$. 由于行级和列级重合,这意味着  $ B $ 最多 $k-1$ 线性独立的行。结果, k 的行  $ B $ 不是线性独立的。但是行  $ B $ 也是  $ L $ . 因此,  $ L $ 不是线性独立的  $ L $ 不是完全排名,也不是可逆的。综上所述,我们证明了如果 在主对角线上有零项  $ L $ , 然后  $ L $ 是不可逆的。作为结果,  $ L $ 仅当主对角线上没有零项时才是可逆的。我们现在 需要证明“如果部分”(如果主部分上没有零项 对角线  $ L $ 是可逆的)。我们将通过矛盾证明这一点。如果  $ L $ 是不可逆的,则其行不是线性独立的,其中之一 (假设是 k -th 行)可以写成 线性的 组合 其他的 行数: [eq13] 如果 下面还有其他行 $ L_ {k ullet} $, 带有索引 $ k + 1,ldots,K $, 那么它们在线性组合中的系数必须为零。尤其是, $ lpha _ {K} $ 必须为零,因为 K -th 该行是唯一在行中具有非零条目的行 K -th 列和 $ L_ {k ullet} $ 的条目为零 K -th 柱。 因此, [eq14] 通过 相同的令牌 $ lpha _ {K-1} $ 必须为零,因为 $ left(K-1
权)$ -th 行是线性组合中唯一在行中具有非零条目的行 $ left(K-1
权)$ -th 列和 $ L_ {k ullet} $ 的条目为零 $ left(K-1
权)$ -th 柱。 从而, [eq15] 我们 重复这种推理,直到我们推断出 [eq16] 如 a 后果, [eq17] 但 这是不可能的,因为 $ L_ {k ullet} $ 在其中有一个非零的条目  $ k $ -th 列和 [eq18] 所有在该列中都有零个条目。因此,我们通过矛盾证明了 如果所有的对角线项  $ L $ 不为零,则没有行  $ L $ 可以写成其他的线性组合。结果, 行是线性独立的  $ L $ 是可逆的。现在我们已经证明了下三角的命题 矩阵。上三角矩阵的证明相似(替换列 行)。

三角矩阵的逆是三角

主张 如果下(上)三角形  $ Kimes K $ 矩阵  $ L $ 是可逆的,则其倒数是下(上)三角形。此外,每个 进入主对角线  $ L ^ {-1} $ 等于的主对角线上相应条目的倒数  $ L $ , 那 是的 [eq19] 对于 $ k = 1,ldots,K $.

证明

 $ L $ 成为  $ Kimes K $ 下三角矩阵。表示为 [eq20]K 的列  $ L ^ {-1} $ . 根据定义,反 满足 [eq21] 哪里 I 是个  $ Kimes K $ 单位矩阵的列 IK 向量 [eq22] 标准基础 。 的 k -th 标准基础向量  $ e_ {k} $ 的所有条目都等于零,除了 k -th 等于 1. 通过演讲中介绍的结果 矩阵 产品和线性组合K 的列  $ L ^ {-1} $ 满足 [eq23] 对于 $ k = 1,ldots,K $. 这是一个可以写成方程式的系统 如 [eq24] 注意 在所有方程中,右边的常数为零,但 k -th 。 以来  $ L $ 是可逆的,其对角线元素 ([eq25]) 非零。以来 $L_{11}
eq 0$, 第一个方程有解  $ y_ {1k} = 0 $ . 通过将此解决方案插入第二个方程,我们得到  $ y_ {2k} = 0 $ (因为 $L_{22}
eq 0$ )。 然后,我们求解第三个方程,依此类推,直到达到 k -th 方程,第一次找到非零解 $ y_ {kk} = 1 / L_ {kk} $. 因此,列向量的条目 $ y_ {ullet k} $ 以上 k -th 行全为零。但 $ y_ {ullet k} $ 是个 k -th 的列  $ L ^ {-1} $ 该声明对所有人适用 k. 结果,所有的条目  $ L ^ {-1} $ 行索引小于列索引的值为零。换一种说法,  $ L ^ {-1} $ 是较低的三角形。上三角矩阵的证明是相似的。

三角矩阵和梯形

本节探讨三角矩阵与矩阵之间的关系 以梯队形式。

主张 如果上三角矩阵是可逆的,则它在 行梯形表格.

证明

请记住,据说矩阵在行中 且仅当1)其所有非零行都具有枢轴(即 非零条目,因此其左侧和下方的所有条目都等于 0)和2)所有零行都位于非零行下方。假设  美元 是可逆的上三角矩阵。然后,  美元 没有零行,因为其所有对角线条目都不为零。此外, 每行  美元 包含对角线条目,它是一个枢轴,因为它不为零,并且具有 下方和左侧仅零。因此,  美元 以梯形形式排列。

主张 如果下三角矩阵是可逆的,则它在 专栏梯队 形成 .

证明

这是 先前的命题。我们只需要使用以下事实:1)的转置 上三角矩阵是下三角; 2)矩阵的转置 行梯形形式是列梯形形式。

主张 如果方矩阵是行梯形形式,则它是上三角形。

证明

 美元 是行梯形形式的方阵。扫描以下行  美元 从上到下寻找关键点。您会在每一行上找到一个枢轴 直到到达零行。您找到的每个枢轴位于下方和右侧 前一个。因此,支点始终位于主干的右侧 对角线。枢轴左侧的条目必须为零。因此, 当然,主对角线左侧的条目为零。因此,  美元 是上三角形。

主张 如果方形矩阵是列梯形形式,则它是较低的三角形。

证明

这是 先前的命题。我们只需要利用事实,即 行梯形形式的矩阵是列梯形形式,矩阵的转置 上三角矩阵是下三角。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "三角矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/triangular-matrix.

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