一个正方形 矩阵 据说是 是:
如果在其主对角线上的所有元素均为零,则为下三角形。
如果主对角线以下的所有元素均为零,则返回上三角。
三角矩阵经常出现在线性代数和 线性的 系统 。因此,值得详细研究它们的特性, 我们在下面做。
形式定义如下。
定义
A
矩阵
当且仅当下三角
每当
.
请记住,
方阵
是所有条目的集合,以使它们的行索引和列索引一致,
那就是
组
因此,在下三角矩阵中,主元素上方的所有元素
对角线(即列索引为
大于行索引
)
为零。
定义
A
矩阵
当且仅当是上三角
每当
.
因此,在上三角矩阵中,主对角线以下的所有元素
(即那些其列索引为
小于行索引
)
为零。
以下是三角形矩阵的一些示例。
例
考虑一下
矩阵
的
主对角线上的条目是
的
主对角线上方的所有条目
零:
因此,
矩阵是较低的三角形。
例
定义
矩阵
的
主对角线上的条目是
的
主对角线以下的条目都是
零:
因此,
矩阵是上三角形。
以下各节报告了三角形满足的一些特性 矩阵。
主张 下三角矩阵的转置为上三角。
假设
是较低的三角形,因此
每当
.
根据定义,转置的条目
满足
因此,
每当
.
因此,
是上三角形。
主张 上三角矩阵的转置是下三角。
类似于上一个。
主张 两个下三角矩阵的乘积是下三角。
假设
和
是两个
下三角矩阵。我们需要证明
那
每当
.
但当
,
我们有
那
哪里:
在步
我们使用了这样一个事实
因为
;
在步
我们使用了这样一个事实
因为
.
主张 两个上三角矩阵的乘积是上三角。
该证明与前一个类似。
主张 三角矩阵(上方或下方)为 可逆的 当且仅当全部 其主对角线上的条目为非零。
让我们首先证明“仅当”部分。
假设一个
下三角矩阵
在行的主对角线上有零项
,
那
是的
考虑
的
子矩阵
由第一个
的行
.
的
-th
的列
为零,因为
,
并且其右边的所有列均为零,因为
是较低的三角形。然后,
最多
非零列。结果,它最多
线性独立
列。因此, 列等级
最多
.
由于行级和列级重合,这意味着
最多
线性独立的行。结果,
的行
不是线性独立的。但是行
也是
.
因此,
不是线性独立的
不是完全排名,也不是可逆的。综上所述,我们证明了如果
在主对角线上有零项
,
然后
是不可逆的。作为结果,
仅当主对角线上没有零项时才是可逆的。我们现在
需要证明“如果部分”(如果主部分上没有零项
对角线
是可逆的)。我们将通过矛盾证明这一点。如果
是不可逆的,则其行不是线性独立的,其中之一
(假设是
-th
行)可以写成 线性的
组合 其他的
行数:
如果
下面还有其他行
,
带有索引
,
那么它们在线性组合中的系数必须为零。尤其是,
必须为零,因为
-th
该行是唯一在行中具有非零条目的行
-th
列和
的条目为零
-th
柱。
因此,
通过
相同的令牌
必须为零,因为
-th
行是线性组合中唯一在行中具有非零条目的行
-th
列和
的条目为零
-th
柱。
从而,
我们
重复这种推理,直到我们推断出
如
a
后果,
但
这是不可能的,因为
在其中有一个非零的条目
-th
列和
所有在该列中都有零个条目。因此,我们通过矛盾证明了
如果所有的对角线项
不为零,则没有行
可以写成其他的线性组合。结果,
行是线性独立的
是可逆的。现在我们已经证明了下三角的命题
矩阵。上三角矩阵的证明相似(替换列
行)。
主张
如果下(上)三角形
矩阵
是可逆的,则其倒数是下(上)三角形。此外,每个
进入主对角线
等于的主对角线上相应条目的倒数
,
那
是的
对于
.
让
成为
下三角矩阵。表示为
的
的列
.
根据定义,反
满足
哪里
是个
单位矩阵的列
是
向量
的 标准基础 。 的
-th
标准基础向量
的所有条目都等于零,除了
-th
等于
.
通过演讲中介绍的结果
矩阵
产品和线性组合 ,
的列
满足
对于
.
这是一个可以写成方程式的系统
如
注意
在所有方程中,右边的常数为零,但
-th 。
以来
是可逆的,其对角线元素
(
)
非零。以来
,
第一个方程有解
.
通过将此解决方案插入第二个方程,我们得到
(因为
)。
然后,我们求解第三个方程,依此类推,直到达到
-th
方程,第一次找到非零解
.
因此,列向量的条目
以上
-th
行全为零。但
是个
-th
的列
该声明对所有人适用
.
结果,所有的条目
行索引小于列索引的值为零。换一种说法,
是较低的三角形。上三角矩阵的证明是相似的。
本节探讨三角矩阵与矩阵之间的关系 以梯队形式。
主张 如果上三角矩阵是可逆的,则它在 行梯形表格.
请记住,据说矩阵在行中
且仅当1)其所有非零行都具有枢轴(即
非零条目,因此其左侧和下方的所有条目都等于
0)和2)所有零行都位于非零行下方。假设
是可逆的上三角矩阵。然后,
没有零行,因为其所有对角线条目都不为零。此外,
每行
包含对角线条目,它是一个枢轴,因为它不为零,并且具有
下方和左侧仅零。因此,
以梯形形式排列。
主张 如果下三角矩阵是可逆的,则它在 专栏梯队 形成 .
这是 先前的命题。我们只需要使用以下事实:1)的转置 上三角矩阵是下三角; 2)矩阵的转置 行梯形形式是列梯形形式。
主张 如果方矩阵是行梯形形式,则它是上三角形。
让
是行梯形形式的方阵。扫描以下行
从上到下寻找关键点。您会在每一行上找到一个枢轴
直到到达零行。您找到的每个枢轴位于下方和右侧
前一个。因此,支点始终位于主干的右侧
对角线。枢轴左侧的条目必须为零。因此,
当然,主对角线左侧的条目为零。因此,
是上三角形。
主张 如果方形矩阵是列梯形形式,则它是较低的三角形。
这是 先前的命题。我们只需要利用事实,即 行梯形形式的矩阵是列梯形形式,矩阵的转置 上三角矩阵是下三角。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "三角矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/triangular-matrix.