三角矩阵

假设 是较低的三角形，因此 每当 . 根据定义，转置的条目 满足 因此， 每当 . 因此， 是上三角形。

类似于上一个。

假设 和 是两个 下三角矩阵。我们需要证明 那 每当 . 但当 , 我们有 那 哪里： 在步 我们使用了这样一个事实 因为 ; 在步 我们使用了这样一个事实 因为 .

该证明与前一个类似。

让我们首先证明“仅当”部分。 假设一个 下三角矩阵 在行的主对角线上有零项 , 那 是的 考虑 的 子矩阵 由第一个 的行 . 的 -th 的列 为零，因为 , 并且其右边的所有列均为零，因为 是较低的三角形。然后， 最多 非零列。结果，它最多 线性独立 列。因此， 列等级 最多 . 由于行级和列级重合，这意味着 最多 线性独立的行。结果， 的行 不是线性独立的。但是行 也是 . 因此， 不是线性独立的 不是完全排名，也不是可逆的。综上所述，我们证明了如果 在主对角线上有零项 , 然后 是不可逆的。作为结果， 仅当主对角线上没有零项时才是可逆的。我们现在 需要证明“如果部分”（如果主部分上没有零项 对角线 是可逆的）。我们将通过矛盾证明这一点。如果 是不可逆的，则其行不是线性独立的，其中之一 （假设是 -th 行）可以写成 线性的 组合 其他的 行数： 如果 下面还有其他行 , 带有索引 , 那么它们在线性组合中的系数必须为零。尤其是， 必须为零，因为 -th 该行是唯一在行中具有非零条目的行 -th 列和 的条目为零 -th 柱。 因此， 通过 相同的令牌 必须为零，因为 -th 行是线性组合中唯一在行中具有非零条目的行 -th 列和 的条目为零 -th 柱。 从而， 我们 重复这种推理，直到我们推断出 如 a 后果， 但 这是不可能的，因为 在其中有一个非零的条目 -th 列和 所有在该列中都有零个条目。因此，我们通过矛盾证明了 如果所有的对角线项 不为零，则没有行 可以写成其他的线性组合。结果， 行是线性独立的 是可逆的。现在我们已经证明了下三角的命题 矩阵。上三角矩阵的证明相似（替换列 行）。

让 成为 下三角矩阵。表示为 的 的列 . 根据定义，反 满足 哪里 是个 单位矩阵的列 是 向量 的 标准基础 。 的 -th 标准基础向量 的所有条目都等于零，除了 -th 等于 . 通过演讲中介绍的结果 矩阵 产品和线性组合 ， 的列 满足 对于 . 这是一个可以写成方程式的系统 如 注意 在所有方程中，右边的常数为零，但 -th 。 以来 是可逆的，其对角线元素 () 非零。以来 , 第一个方程有解 . 通过将此解决方案插入第二个方程，我们得到 （因为 ）。 然后，我们求解第三个方程，依此类推，直到达到 -th 方程，第一次找到非零解 . 因此，列向量的条目 以上 -th 行全为零。但 是个 -th 的列 该声明对所有人适用 . 结果，所有的条目 行索引小于列索引的值为零。换一种说法， 是较低的三角形。上三角矩阵的证明是相似的。

请记住，据说矩阵在行中 且仅当1）其所有非零行都具有枢轴（即 非零条目，因此其左侧和下方的所有条目都等于 0）和2）所有零行都位于非零行下方。假设 是可逆的上三角矩阵。然后， 没有零行，因为其所有对角线条目都不为零。此外， 每行 包含对角线条目，它是一个枢轴，因为它不为零，并且具有 下方和左侧仅零。因此， 以梯形形式排列。

这是 先前的命题。我们只需要使用以下事实：1）的转置 上三角矩阵是下三角； 2）矩阵的转置 行梯形形式是列梯形形式。

让 是行梯形形式的方阵。扫描以下行 从上到下寻找关键点。您会在每一行上找到一个枢轴 直到到达零行。您找到的每个枢轴位于下方和右侧 前一个。因此，支点始终位于主干的右侧 对角线。枢轴左侧的条目必须为零。因此， 当然，主对角线左侧的条目为零。因此， 是上三角形。

这是 先前的命题。我们只需要利用事实，即 行梯形形式的矩阵是列梯形形式，矩阵的转置 上三角矩阵是下三角。