ary矩阵是一个复数 方阵 谁的 列(和行)是正交的。它具有非凡的特性 逆等于其共轭转置。
其条目均为实数的unit矩阵被称为正交。
为了理解a矩阵的定义,我们需要记住 以下内容。
我们说两个向量
和
是正交的,当且仅当它们的
内部产品 等于
零:
我们可以使用内积来定义
规范 向量的(长度)
如
如下:
我们说一组向量
是 正交的 当且仅
如果
那
是,且仅当集合中的元素具有单位范数且正交时
对彼此。
当向量是
复杂数组
数字 特别是
列向量具有复杂的条目,这是定义内部
产品
是
哪里
和
是
向量和
表示 共轭
转置 的
.
当向量是实数数组时,内积是通常的
点积 在两个之间
向量:哪里
表示的转置
.
现在我们准备给出of矩阵的定义。
定义
A
复矩阵
据说是 酉 当且仅当它是可逆的并且其
逆 等于它的
共轭转置
是的
请记住
是a的逆
矩阵
当且仅当它
满足
哪里
是个
单位矩阵。作为一个
结果,以下两个命题成立。
主张
当且仅当是a矩阵
如果
主张
当且仅当是a矩阵
如果
让我们举一个简单的例子。
例
定义
复杂
矩阵
的
共轭转座
是
的
矩阵乘积 之间
和
是
然后,
是单一的。
ary矩阵的性质是它们的列是正交的。
主张
矩阵
当且仅当其列构成正交集时,它才是unit。
请注意
-th
单位矩阵的条目是
此外,
根据矩阵乘积的定义,
-th
产品进入
是介于
-th
排
(由表示
)
和
-th
的列
(由表示
):
在
根据共轭转置的定义,
-th
排
等于的共轭转置
-th
的列
.
因此,我们有
那
有
建立这些事实,让我们证明命题的“如果”部分。
假设
形成一个正交集。然后,
哪一个
暗示
对于
任何
和
.
作为结果,
哪一个
意思是
是单一的。现在让我们证明“仅当”部分。假设
是单一的。
然后,
哪一个
暗示
如
结果,
是正常的。
例
再考虑一下
矩阵和
用两栏表示
的
两列具有单位范数
因为
和
他们
是正交的
因为
接下来是一个非常简单的属性。
主张
矩阵
当且仅当其转置时才是unit
是单一的。
我们已经知道
如果和
只要
我们
可以转置等式的两边并获得等价物
健康)状况
哪里
我们已经利用了
共轭顺序和
换位无所谓。如果且满足后一个条件
除非
是单一的,证明了这一命题。
不仅a矩阵的列而且行都是正交的。
主张
矩阵
当且仅当其行形成正交集时,它才是unit。
的行
是的列
,
1)当且仅当它具有正交列时才是单一的; 2)仅当
如果
是单一的。
可以在几行中证明的另一个命题。
主张
矩阵
当且仅当其共轭转置时才是unit
是单一的。
我们已经知道
当且仅当
通过
取方程两边的复共轭,我们
获得
要么
哪一个
等于说
是单一的。
unit矩阵的乘积是a矩阵。
主张
让
和
成为两个unit
矩阵。然后,产品
是单一的。
的共轭转置
是
因此,
哪一个
暗示
是单一的。
在矩阵代数中有时会使用以下事实。
主张
让
成为
ary矩阵如果
为三角形(上下),并且其对角线输入为正,
然后
哪里
是个
单位矩阵
让我们从以下情况开始
是上三角(UT)。以来
是UT,只有其第一列的第一项可以与
零:
以来
如果为一,则其一列的范数必须等于1。
假设...的对角线项
必须为正,列的范数仅是单一的
如果
那
是,如果
是的第一个向量 典范
基础。以来
是UT,则仅第二列的前两个条目可以与
零:
的
的前两列之间的内部乘积
是
以来
的列
彼此正交,后者的内积必须等于零,
这意味着
因此,
以来
的规范
必须等于1,必须是
.
从而,
是规范基础的第二个向量。对于的其他每个列
,
我们以类似的方式进行操作:我们强加该列的某些条目等于
零,因为
是三角形我们证明其他项必须等于零才能
满足正交性条件;我们证明唯一的非零项
必须等于1才能满足正态性要求。的
当我们证明
等于
-th
规范依据的列,用于
.
从而,
等于
单位矩阵如果
是较低的三角形且是单一的,则
是上三角形和单一的。结果,我们有
,
这意味着
.
unit矩阵的最重要属性也适用于 不是正方形,但具有正交列。
主张
让
成为
这样的矩阵
列构成一个正交集。然后,
哪里
是个
单位矩阵
表示为
的
-th
的列
.
根据矩阵乘积的定义,
矩阵
是
一个
其矩阵
-th
条目
是
因为
的列
是正常的。其他
话,
哪里
是个
单位矩阵
如果a矩阵的所有条目都是实数(即,它们的复数部分是 全部为零),则矩阵称为正交。
如果
是一个实矩阵,它不受复杂共轭的影响。作为一个
结果,我们有
那
因此,当且仅当实矩阵是正交的
如果
由于正交矩阵是unit矩阵,所以all矩阵的所有性质 适用于正交矩阵。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义
矩阵
查找标量
这样
是单一的。
我们需要找到
这样
那
让
我们首先计算的共轭转置
:
然后,
我们可以用
:
从而,
如果我们选择
,
我们
获得
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "ary矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/unitary-matrix.