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ary矩阵

通过 博士

ary矩阵是一个复数 方阵 谁的 列（和行）是正交的。它具有非凡的特性 逆等于其共轭转置。

其条目均为实数的unit矩阵被称为正交。

目录

目录

  1. 初步概念

  2. 定义

  3. 列的正交性

  4. 单一转置

  5. 行的正交性

  6. 共轭转置

  7. ary矩阵的乘积

  8. ary矩阵和三角矩阵

  9. 具有正交列的非正方形矩阵

  10. 正交矩阵

  11. 解决的练习

    1. 练习1

初步概念

为了理解a矩阵的定义，我们需要记住 以下内容。

我们说两个向量 $ r $ 和 $ s $ 是正交的，当且仅当它们的 内部产品 等于 零：[eq1]

我们可以使用内积来定义 规范 向量的（长度） $ s $ 如 如下：[eq2]

我们说一组向量 [eq3] 是 正交的 当且仅 如果[eq4]那 是，且仅当集合中的元素具有单位范数且正交时 对彼此。

当向量是 复杂数组 数字 特别是 Kx1 列向量具有复杂的条目，这是定义内部 产品 是[eq5]哪里 $ s $ 和 $ r $ 是 Kx1 向量和 $ s ^ {st} $ 表示 共轭 转置 的 $ s $.

当向量是实数数组时，内积是通常的 点积 在两个之间 向量：[eq6]哪里 $ s ^ {op} $ 表示的转置 $ s $.

定义

现在我们准备给出of矩阵的定义。

定义 A $ Kimes K $ 复矩阵 A 据说是 酉 当且仅当它是可逆的并且其 逆 等于它的 共轭转置 是的[eq7]

请记住 $ A ^ {-1} $ 是a的逆 $ Kimes K $ 矩阵 A 当且仅当它 满足[eq8]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵。作为一个 结果，以下两个命题成立。

主张 A 当且仅当是a矩阵 如果[eq9]

主张 A 当且仅当是a矩阵 如果[eq10]

让我们举一个简单的例子。

例 定义 2元2元 复杂 矩阵[eq11]的 共轭转座 A 是[eq12]的 矩阵乘积 之间 $ A ^ {st} $ 和 A 是[eq13]然后， A 是单一的。

列的正交性

ary矩阵的性质是它们的列是正交的。

主张 矩阵 A 当且仅当其列构成正交集时，它才是unit。

证明

请注意 $left( j,k ight) $-th 单位矩阵的条目是 [eq14]此外， 根据矩阵乘积的定义， $left( j,k ight) $-th 产品进入 $ A ^ {st} A $ 是介于 $ j $-th 排 $ A ^ {st} $ （由表示 [eq15]) 和 $ k $-th 的列 A （由表示 $ A_ {ullet k} $）： [eq16]在 根据共轭转置的定义， $ j $-th 排 $ A ^ {st} $ 等于的共轭转置 $ j $-th 的列 $ A $. 因此，我们有 那[eq17]有 建立这些事实，让我们证明命题的“如果”部分。 假设 A 形成一个正交集。然后， [eq18]哪一个 暗示[eq19]对于 任何 $ j $ 和 k. 作为结果， [eq20]哪一个 意思是 A 是单一的。现在让我们证明“仅当”部分。假设 A 是单一的。 然后，[eq21]哪一个 暗示[eq22]如 结果， A 是正常的。

例 再考虑一下 矩阵[eq23]和 用两栏表示 [eq24]的 两列具有单位范数 因为[eq25]和[eq26]他们 是正交的 因为[eq27]

单一转置

接下来是一个非常简单的属性。

主张 矩阵 A 当且仅当其转置时才是unit $ A ^ {op} $ 是单一的。

证明

我们已经知道 A 如果和 只要[eq28]我们 可以转置等式的两边并获得等价物 健康）状况[eq29]哪里 我们已经利用了 共轭顺序和 换位无所谓。如果且满足后一个条件 除非 $ A ^ {op} $ 是单一的，证明了这一命题。

行的正交性

不仅a矩阵的列而且行都是正交的。

主张 矩阵 A 当且仅当其行形成正交集时，它才是unit。

证明

的行 A 是的列 $ A ^ {op} $, 1）当且仅当它具有正交列时才是单一的； 2）仅当 如果 A 是单一的。

共轭转置

可以在几行中证明的另一个命题。

主张 矩阵 A 当且仅当其共轭转置时才是unit $ A ^ {st} $ 是单一的。

证明

我们已经知道 A 当且仅当 [eq29]通过 取方程两边的复共轭，我们 获得[eq31]要么[eq32]哪一个 等于说 $ A ^ {st} $ 是单一的。

ary矩阵的乘积

unit矩阵的乘积是a矩阵。

主张 让 A 和 $ B $ 成为两个unit $ Kimes K $ 矩阵。然后，产品 $ AB $ 是单一的。

证明

的共轭转置 $ AB $ 是[eq33]因此，[eq34]哪一个 暗示 $ AB $ 是单一的。

ary矩阵和三角矩阵

在矩阵代数中有时会使用以下事实。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ ary矩阵如果 A 为三角形（上下），并且其对角线输入为正， 然后[eq35]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵

证明

让我们从以下情况开始 A 是上三角（UT）。以来 A 是UT，只有其第一列的第一项可以与 零：[eq36]以来 A 如果为一，则其一列的范数必须等于1。 假设...的对角线项 A 必须为正，列的范数仅是单一的 如果[eq37]那 是，如果 $ A_ {ullet 1} $ 是的第一个向量 典范 基础。以来 A 是UT，则仅第二列的前两个条目可以与 零：[eq38]的 的前两列之间的内部乘积 A 是[eq39]以来 的列 A 彼此正交，后者的内积必须等于零， 这意味着 [eq40]因此，[eq41]以来 的规范 $ A_ {ullet 2} $ 必须等于1，必须是 $ A_ {22} = 1 $. 从而， $ A_ {ullet 2} $ 是规范基础的第二个向量。对于的其他每个列 A, 我们以类似的方式进行操作：我们强加该列的某些条目等于 零，因为 A 是三角形我们证明其他项必须等于零才能 满足正交性条件；我们证明唯一的非零项 必须等于1才能满足正态性要求。的 当我们证明 $ A_ {ullet k} $ 等于 k-th 规范依据的列，用于 $ k = 1，ldots，K $. 从而， A 等于 $ Kimes K $ 单位矩阵如果 A 是较低的三角形且是单一的，则 $ A ^ {op} $ 是上三角形和单一的。结果，我们有 $ A ^ {op} = I $, 这意味着 $ A = I $.

具有正交列的非正方形矩阵

unit矩阵的最重要属性也适用于 不是正方形，但具有正交列。

主张 让 A 成为 $ Kimes L $ 这样的矩阵 $ L $ 列构成一个正交集。然后， [eq42]哪里 I 是个 $石灰L $ 单位矩阵

证明

表示为 $ A_ {ullet l} $ 的 $ l $-th 的列 A. 根据矩阵乘积的定义， 矩阵[eq43]是 一个 $石灰L $ 其矩阵 $left( l,m ight) $-th 条目 是[eq44]因为 的列 A 是正常的。其他 话，[eq45]哪里 I 是个 $石灰L $ 单位矩阵

正交矩阵

如果a矩阵的所有条目都是实数（即，它们的复数部分是 全部为零），则矩阵称为正交。

如果 A 是一个实矩阵，它不受复杂共轭的影响。作为一个 结果，我们有 那[eq46]

因此，当且仅当实矩阵是正交的 如果[eq47]

由于正交矩阵是unit矩阵，所以all矩阵的所有性质 适用于正交矩阵。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义 矩阵[eq48]

查找标量 $ lpha $ 这样 $ lpha A $ 是单一的。

解

我们需要找到 $ lpha $ 这样 那[eq49]让 我们首先计算的共轭转置 A:[eq50]然后， 我们可以用 A:[eq51]从而， 如果我们选择 $ lpha = 1/2 $, 我们 获得[eq52]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "ary矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/unitary-matrix.

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