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ary矩阵

通过 博士

ary矩阵是一个复数 方阵 谁的 列(和行)是正交的。它具有非凡的特性 逆等于其共轭转置。

其条目均为实数的unit矩阵被称为正交。

目录

初步概念

为了理解a矩阵的定义,我们需要记住 以下内容。

我们说两个向量 $ r $$ s $ 是正交的,当且仅当它们的 内部产品 等于 零:[eq1]

我们可以使用内积来定义 规范 向量的(长度) $ s $ 如 如下:[eq2]

我们说一组向量 [eq3] 正交的 当且仅 如果[eq4]那 是,且仅当集合中的元素具有单位范数且正交时 对彼此。

当向量是 复杂数组 数字 特别是 Kx1 列向量具有复杂的条目,这是定义内部 产品 是[eq5]哪里 $ s $$ r $Kx1 向量和 $ s ^ {st} $ 表示 共轭 转置$ s $.

当向量是实数数组时,内积是通常的 点积 在两个之间 向量:[eq6]哪里 $ s ^ {op} $ 表示的转置 $ s $.

定义

现在我们准备给出of矩阵的定义。

定义 A $ Kimes K $ 复矩阵 A 据说是 当且仅当它是可逆的并且其 等于它的 共轭转置 是的[eq7]

请记住 $ A ^ {-1} $ 是a的逆 $ Kimes K $ 矩阵 A 当且仅当它 满足[eq8]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵。作为一个 结果,以下两个命题成立。

主张 A 当且仅当是a矩阵 如果[eq9]

主张 A 当且仅当是a矩阵 如果[eq10]

让我们举一个简单的例子。

定义 2元2元 复杂 矩阵[eq11]的 共轭转座 A[eq12] 矩阵乘积 之间 $ A ^ {st} $A[eq13]然后, A 是单一的。

列的正交性

ary矩阵的性质是它们的列是正交的。

主张 矩阵 A 当且仅当其列构成正交集时,它才是unit。

证明

请注意 $left( j,k
ight) $-th 单位矩阵的条目是 [eq14]此外, 根据矩阵乘积的定义, $left( j,k
ight) $-th 产品进入 $ A ^ {st} A $ 是介于 $ j $-th 排 $ A ^ {st} $ (由表示 [eq15]) 和 $ k $-th 的列 A (由表示 $ A_ {ullet k} $): [eq16]在 根据共轭转置的定义, $ j $-th 排 $ A ^ {st} $ 等于的共轭转置 $ j $-th 的列 $ A $. 因此,我们有 那[eq17]有 建立这些事实,让我们证明命题的“如果”部分。 假设 A 形成一个正交集。然后, [eq18]哪一个 暗示[eq19]对于 任何 $ j $k. 作为结果, [eq20]哪一个 意思是 A 是单一的。现在让我们证明“仅当”部分。假设 A 是单一的。 然后,[eq21]哪一个 暗示[eq22]如 结果, A 是正常的。

再考虑一下 矩阵[eq23]和 用两栏表示 [eq24]的 两列具有单位范数 因为[eq25][eq26]他们 是正交的 因为[eq27]

单一转置

接下来是一个非常简单的属性。

主张 矩阵 A 当且仅当其转置时才是unit $ A ^ {op} $ 是单一的。

证明

我们已经知道 A 如果和 只要[eq28]我们 可以转置等式的两边并获得等价物 健康)状况[eq29]哪里 我们已经利用了 共轭顺序和 换位无所谓。如果且满足后一个条件 除非 $ A ^ {op} $ 是单一的,证明了这一命题。

行的正交性

不仅a矩阵的列而且行都是正交的。

主张 矩阵 A 当且仅当其行形成正交集时,它才是unit。

证明

的行 A 是的列 $ A ^ {op} $, 1)当且仅当它具有正交列时才是单一的; 2)仅当 如果 A 是单一的。

共轭转置

可以在几行中证明的另一个命题。

主张 矩阵 A 当且仅当其共轭转置时才是unit $ A ^ {st} $ 是单一的。

证明

我们已经知道 A 当且仅当 [eq29]通过 取方程两边的复共轭,我们 获得[eq31]要么[eq32]哪一个 等于说 $ A ^ {st} $ 是单一的。

ary矩阵的乘积

unit矩阵的乘积是a矩阵。

主张A$ B $ 成为两个unit $ Kimes K $ 矩阵。然后,产品 $ AB $ 是单一的。

证明

的共轭转置 $ AB $[eq33]因此,[eq34]哪一个 暗示 $ AB $ 是单一的。

ary矩阵和三角矩阵

在矩阵代数中有时会使用以下事实。

主张A 成为 $ Kimes K $ ary矩阵如果 A 为三角形(上下),并且其对角线输入为正, 然后[eq35]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵

证明

让我们从以下情况开始 A 是上三角(UT)。以来 A 是UT,只有其第一列的第一项可以与 零:[eq36]以来 A 如果为一,则其一列的范数必须等于1。 假设...的对角线项 A 必须为正,列的范数仅是单一的 如果[eq37]那 是,如果 $ A_ {ullet 1} $ 是的第一个向量 典范 基础。以来 A 是UT,则仅第二列的前两个条目可以与 零:[eq38]的 的前两列之间的内部乘积 A[eq39]以来 的列 A 彼此正交,后者的内积必须等于零, 这意味着 [eq40]因此,[eq41]以来 的规范 $ A_ {ullet 2} $ 必须等于1,必须是 $ A_ {22} = 1 $. 从而, $ A_ {ullet 2} $ 是规范基础的第二个向量。对于的其他每个列 A, 我们以类似的方式进行操作:我们强加该列的某些条目等于 零,因为 A 是三角形我们证明其他项必须等于零才能 满足正交性条件;我们证明唯一的非零项 必须等于1才能满足正态性要求。的 当我们证明 $ A_ {ullet k} $ 等于 k-th 规范依据的列,用于 $ k = 1,ldots,K $. 从而, A 等于 $ Kimes K $ 单位矩阵如果 A 是较低的三角形且是单一的,则 $ A ^ {op} $ 是上三角形和单一的。结果,我们有 $ A ^ {op} = I $, 这意味着 $ A = I $.

具有正交列的非正方形矩阵

unit矩阵的最重要属性也适用于 不是正方形,但具有正交列。

主张A 成为 $ Kimes L $ 这样的矩阵 $ L $ 列构成一个正交集。然后, [eq42]哪里 I 是个 $石灰L $ 单位矩阵

证明

表示为 $ A_ {ullet l} $$ l $-th 的列 A. 根据矩阵乘积的定义, 矩阵[eq43]是 一个 $石灰L $ 其矩阵 $left( l,m
ight) $-th 条目 是[eq44]因为 的列 A 是正常的。其他 话,[eq45]哪里 I 是个 $石灰L $ 单位矩阵

正交矩阵

如果a矩阵的所有条目都是实数(即,它们的复数部分是 全部为零),则矩阵称为正交。

如果 A 是一个实矩阵,它不受复杂共轭的影响。作为一个 结果,我们有 那[eq46]

因此,当且仅当实矩阵是正交的 如果[eq47]

由于正交矩阵是unit矩阵,所以all矩阵的所有性质 适用于正交矩阵。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义 矩阵[eq48]

查找标量 $ lpha $ 这样 $ lpha A $ 是单一的。

我们需要找到 $ lpha $ 这样 那[eq49]让 我们首先计算的共轭转置 A:[eq50]然后, 我们可以用 A:[eq51]从而, 如果我们选择 $ lpha = 1/2 $, 我们 获得[eq52]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "ary矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/unitary-matrix.

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