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Vec运算符

通过 博士

vec运算符是将矩阵转换为列向量的运算符 通过垂直堆叠矩阵的列。

在本讲座中,我们定义了vec运算符,并证明了其中的大部分 重要属性。

目录

定义

我们从定义开始。

定义 A 成为  $ Kimes L $ 矩阵 。表示为 [eq1] 的列 A. 向量化 A, 表示为 [eq2], 是个 $ KLimes 1 $ 柱 向量 [eq3]

这是vec运算符如何工作的示例。

定义 2元3元 矩阵 [eq4] 它的 向量化 是 [eq5]

列和行向量的Vec

vec运算符的前两个属性是其直接后果 定义。

主张 如果  $ c $ 是一个 Kx1 列向量 然后 [eq6]

主张 如果  $ r $ 是一个  $ 1imes K $ 行向量 然后 [eq7] 哪里 $ r ^ {op} $ 表示的转置  $ r $ .

线性度

vec运算符是线性的,即保留 线性组合.

主张A $ B $ 是两个  $ Kimes L $ 矩阵和  $ lpha $  $ eta $ 两个标量。 然后 [eq8]

证明

表示为 [eq9] 的列 A[eq10] 的列  $ B $ . 按照规则 矩阵加法 乘法 标量矩阵 $ l $ -th 的列 $ lpha A + eta B $[eq11] 因此, [eq12]

Vec和Kronecker产品

vec运算符的一些属性也是Kronecker的属性 产品。

请记住 克罗内克 产品 $澳元B $ 是个 块 矩阵 [eq13] 哪里  $ A_ {kl} $ 表示 $ left(k,l
权)$ -th 进入 A.

我们已经证明并且我们已经证明了Kronecker产品的特性 下面将使用的是所谓的 混合产品 属性 :如果 A,  $ B $ ,  $ C $  $ D $ 这样的产品  $ AC $  $ BD $ 定义明确 然后 [eq14]

外部产品的Vec

下一个属性涉及外部产品,即列之间的产品 和行向量。

主张 $ c $ 成为 Kx1 列向量和  $ r $ a  $ 1imes L $ 行向量。 然后, [eq15]

证明

表示的条目  $ r $ 通过 [eq16]. 然后, [eq17]

基质产品的Vec

下一个财产问题 矩阵产品.

主张A 成为  $ Kimes L $ 矩阵和  $ B $ 一个 $酸橙M $ 矩阵。表示为 [eq18] 的列  $ B $ . 然后, [eq19]

证明

 $ B $ 作为一个块 矩阵: [eq20] 通过 的 规则 块矩阵的乘法 ,我们 有 [eq21] 哪里 每个产品 $ AB_ {ullet 1} $, ..., $ AB_ {ullet M} $ 是的一列  $ AB $ . 陈述的结果随后是矢量化的定义。

通过使用上一个命题,我们可以证明下一个命题。

主张A 成为  $ Kimes L $ 矩阵和  $ B $ 一个 $酸橙M $ 矩阵。 然后, [eq22] 哪里  $ I_ {M} $ 是个 $ Mimes M $ 单位矩阵.

证明

我们 有 [eq23] 哪里 在步  $ rame {A} $ 我们使用了先前命题中证明的结果。

下一个与产品有关的属性  $ ABC $ 三个矩阵。我们可以将其视为使我们能够释放 矩阵  $ B $ 挤在两个矩阵之间 A $ C $ 并将其带出产品。

主张A 成为  $ Kimes L $ 矩阵,  $ B $ 一个 $酸橙M $ 矩阵和  $ C $ 一个  $ Mimes N $ 矩阵。 然后, [eq24] 哪里  $ I_ {M} $ 是个 $ Mimes M $ 单位矩阵

证明

表示的列  $ B $ 通过 [eq25]. 矩阵  $ B $ 可以表达 如 [eq26] 哪里  $ e_ {m} $ 是个  $ m $ -th 的向量 规范基础 的 的  $ M $ 尺寸 向量(即 $ Mimes 1 $ 这样的向量  $ m $ -th 项等于 1 并且其所有其他条目等于 0 )。 然后我们 有 [eq27] 哪里: 逐步  $ rame {A} $  $ rame {E} $ 我们使用了vec运算符的线性;逐步  $ rame {B} $  $ rame {D} $ 我们将上述结果用于外部产品的vec;在步  $ rame {C} $ 我们使用了Kronecker产品的混合产品属性。

请注意,先前得出的结果 [eq28] 是最后一个结果的特殊情况,通过设置  $ C = I_ {M} $ . 我们可以类似地获得其他表达式 [eq29]:[eq30]

Vec和跟踪

请记住 痕迹 矩阵 是其对角线条目的总和。

以下命题显示了vec运算符与 跟踪。

主张A 成为  $ Kimes L $ 矩阵和  $ B $ 一个  $石灰K $ 矩阵。 然后, [eq31] 哪里 [eq32] 表示的痕迹  $ AB $ .

证明

这证明为 如下: [eq33]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 成为  $ Kimes L $ 矩阵,  $ B $ 一个 $酸橙M $ 矩阵和  $ r $ 一个  $酸橙1 $ 向量。证明 那 [eq34]

以来  $ ABr $ 是一个列向量,等于其vec和其转置的vec: [eq35]

练习2

A 是一个块矩阵 [eq36] 与 块  $ B $ ,  $ C $  $ D $ . 你能表达 [eq37] 在块的vec方面?

当我们向量化时 A 我们从左侧的第一列开始垂直堆叠其列, 以右边的最后一列结尾。因此,我们首先将所有 的列  $ B $ , 然后所有的列  $ C $ 最后是  $ C $ . 因此, [eq38]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "Vec运算符", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/vec-operator.

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