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向量的范数

通过 博士

范数是在向量空间上定义的函数,它与每个函数相关 向量长度的度量。在抽象向量空间中,它概括了 欧几里得空间中向量长度的概念。

规范与内部产品之间有着紧密的联系,因为每个内部 产品可用于在其空间上引发规范。

在阅读本讲座之前,您应该熟悉 内部产品 并与 的代数基础 复向量和 矩阵.

目录

规范的定义

我们将给出一个抽象的,公理的规范定义。以后我们会 显示一些规范示例以阐明其含义。

定义$ S $ 成为 向量空间。规范 $ S $ 是一个功能 [eq1] 与每个人相关 $罪S $ 正实数,表示为 [eq2], 具有以下属性。

  1. 确定性:[eq3]

  2. 绝对 同质性:[eq4]哪里 F 是定义矢量空间的字段(即标量集) 用于标量乘法); [eq5] 表示绝对值,如果 $ F = U {211d} $ 和模数,如果 $ F = U {2102} $.

  3. 三角形 不等式:[eq6]

这些属性非常直观。

由于范数是向量长度的度量,因此 要求它应始终为正数。

确定性属性强加除零向量外的所有向量 应该有严格的正长度。

绝对同质性意味着如果按比例放大(或缩小)矢量 $ lpha $, 然后相应地调整其长度。

最后,在三角形不等式中 $ r + s $ 被解释为三角形的边,而 $ r $$ s $ 是另外两个方面。几何学的一个众所周知的事实是 三角形的一侧小于另外两个的长度之和 双方。三角形不等式公理将此特性扩展到 抽象向量空间中的长度。

每个内在产品都归纳为规范

在提供范数向量空间的一些示例之前,我们需要介绍 内部产品与规范之间的重要联系。

定义$ S $ 是向量空间, [eq7] 一个 内部产品$ S $. 然后,功能 [eq8] 定义的 通过[eq9]是 称为归纳规范 $ S $.

我们将证明归纳规范确实满足了 规范。但是在此之前,我们需要证明一些初步结果。

我们强烈建议您阅读 接下来的三个证明 命题 因为它们不仅很短而且很简单 了解,但他们 是磨练我们技能的好方法 处理规范和内部产品。

毕达哥拉斯定理

为了理解下面的概括众所周知 毕达哥拉斯定理,我们需要记住,两个向量被称为 当且仅当其内积等于零时才正交。

主张$ S $ 是配备有内积的向量空间 [eq10] 及其诱发的规范 [eq11]. 如果两个向量 $ r,sinS $ 是正交的(即, [eq12]), 然后[eq13]

证明

证明是 如下:[eq14]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们使用了内积的可加性;在步 $ rame {B} $ 我们已经使用了 $ r $$ s $; 在步 $ rame {C} $ 我们使用了归纳规范的定义。

毕达哥拉斯定理说,斜边的平方长度 ([eq15]) 一个直角三角形的等于另一个矩形的长度的总和 三角形的两侧 ([eq16])。 三角形是正确的,因为我们假设正交(90度角) 两侧之间 $ r $$ s $.

正交分解

给定两个向量,我们总是可以将第一个向量写为向量的标量倍数。 第二个,再加上与第二个正交的第三个向量。

主张$ S $ 是配备有内积的向量空间 [eq17] 及其诱发的规范 [eq11]. 给定两个向量 $ r,sinS $, 如果 $s
eq 0$, 然后存在一个标量 [eq19] 和一个向量 [eq20]这样 那[eq21]

证明

只需验证第一个 平等:[eq22]和 第二 一:[eq23]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们在内部的第一个参数中使用了可加性和同质性 产品;在步 $ rame {B} $ 我们使用了归纳规范的定义。

Cauchy-Schwarz不等式

下一个命题中提出的不平等现象称为柯西·舒瓦兹(Cauchy-Schwarz) 不等式。

主张$ S $ 是配备有内积的向量空间 [eq24] 及其诱发的规范 [eq11]. 对于任何两个向量 $ r,sinS $, 以下不平等 持有:[eq26]

证明

如果 $s=0$, 然后 [eq27], [eq28] 结果,不平等就成立了。因此,我们可以专注于 哪一个 $s
eq 0$. 在这种情况下,我们可以使用前面所示的正交分解 部分:[eq29]哪里 $ u $ 正交于 $ s $. 由于的正交性 $ u $, 我们可以应用毕达哥拉斯的 定理:[eq30]以来 [eq31], 刚刚得出的平等意味着 那[eq32]哪一个 通过在两者上都求平方根 侧面[eq33]如果 我们将双方乘以 [eq34], 我们获得了期望的不等式。

关于复数要记住的几件事

现在,我们拥有几乎所有我们需要用来证明由 内部产品确实满足规范的所有特性。

我们只需要记住一些关于复数的事实。

首先,如果我们添加一个复杂的 数[eq35]它的 复杂 共轭[eq36]我们 得到[eq37]哪里 [eq38] 是复数的所谓实数部分。

二,模数 $ a + ib $ 满足不平等 [eq39]因为 [eq40]

证明归纳规范确实是一个规范

我们现在可以出发了!

主张$ S $ 是向量空间, [eq41] 一个 内部产品$ S $. 然后,由内部产生的规范 产品[eq9]是 规范 $ S $.

证明

让我们首先证明积极性和 确定性。对于任何 $罪S $, 通过内在产品的积极性,我们有 那[eq43]和 通过内积的确定性,我们有 那[eq44]现在, 让我们证明绝对同质。假设 $ S $ 在复杂领域定义 $ U {2102} $. 然后,对于每个 [eq45], 我们有 [eq46]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们在内积的第一个参数中使用了同质性;在 步 $ rame {B} $ 我们在内部的第二个参数中使用了共轭同质性 产品 ($ overline {lpha} $ 是...的复共轭 $ lpha $); 在步 $ rame {C} $ [eq47] 表示的模数 $ lpha $. 当向量空间在实场上时,绝对同质性也成立 R 因为 [eq48] 在这种情况下, [eq49] 是的绝对值 $ lpha $. 最后,让我们证明三角不等式。对于任何 $ r,sinS $, 我们有 那[eq50]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们在两个参数中使用了内积的可加性;在步 $ rame {B} $ 我们使用了归纳规范的定义;在步 $ rame {C} $ 我们使用了内积的共轭对称性;在步 $ rame {D} $$ rame {E} $ 我们使用了复数中讨论的基本性质 上一节;在步 $ rame {F} $ 我们使用了柯西-施瓦兹不等式。通过取两者的平方根 上面得出的不平等的两面,我们 获得[eq51]

示例:实数数组的范数

哇!这是一长串的理论事实,却从未提出过 一个例子。等待是值得的,因为我们现在可以举个例子 涉及内部产品引起的规范,这是最实际的 与线性代数有关。

在此示例中,我们将讨论 Kx1 具有真实条目的列向量。

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 实向量(在实场上 R)。

在里面 内部产品讲座, 我们已经解释了定义内部产品的最常见方法 在两个真实之间 Kx1 向量 $ r,sinS $[eq52]哪里 $ s ^ {intercal} $ 是的转置 $ s $, [eq53]K 的条目 $ r $[eq54]K 的条目 $ s $.

此内积引发的规范 是[eq55]

因此,实向量的范数等于该向量之和的平方根 其条目的平方。这是计算长度的普通方法 欧几里得空间中的向量。

定义[eq56]然后[eq57]

示例:复杂数组的范数

另一个重要的例子是 Kx1 具有复杂条目的列向量。

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 复数向量 (在复杂领域 $ U {2102} $)。

在里面 内部产品讲座, 两个之间的内积 Kx1 向量 $ r,sinS $ 被定义为 是[eq58]哪里 $ s ^ {st} $ 是个 共轭转置$ s $, [eq59]K 的条目 $ r $[eq60] 是...的复共轭 K 的条目 $ s $.

此内积引发的规范 是[eq61]哪里 我们使用了一个事实,即模量 [eq62] 等于的平方根 $ s_ {k} $ 乘以其复共轭 $ overline {s_ {k}} $.

因此,复数向量范数的公式与 实向量的公式:我们只需要替换的绝对值 向量的模数

定义[eq63]然后[eq64]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 实向量。

对于任何 $罪S $, 定义 [eq65]哪里 [eq66]K 的条目 $ s $. 显示 [eq67] 是一种规范。

功能 [eq34] 是正数,因为它是正数项的总和 [eq62]. 这是肯定的,因为 [eq70] 当且仅当 [eq71] 对于 $ k = 1,ldots,K $, 当且仅当 $s=0$. 满足绝对均匀性 因为[eq72]注意 对于任何几个实数 $ a,bin U {211d} $, 我们 有[eq73]因此, 对于任何两个向量 $ r,sinS $[eq74]所以 三角不等式成立。因此,规范的所有属性都是 满意。

练习2

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 实向量。

对于任何 $罪S $, 定义 [eq75]哪里 [eq66]K 的条目 $ s $. 显示 [eq67] 是一种规范。

功能 [eq34] 是正的,因为它是一组正项上的最大值 [eq62]. 这是肯定的,因为 [eq80] 当且仅当 [eq81] 对于 $ k = 1,ldots,K $, 当且仅当 $s=0$. 满足绝对均匀性 因为[eq82]注意 给定两个实数 $ a,bin U {211d} $, 我们 有[eq73]对于 任何两个向量 $ r,sinS $, 我们 有[eq84]所以 三角不等式成立。因此,规范的所有属性都是 满意。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "向量的范数", 列克特ures 上 matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/vector-norm.

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