范数是在向量空间上定义的函数,它与每个函数相关 向量长度的度量。在抽象向量空间中,它概括了 欧几里得空间中向量长度的概念。
规范与内部产品之间有着紧密的联系,因为每个内部 产品可用于在其空间上引发规范。
在阅读本讲座之前,您应该熟悉 内部产品 并与 的代数基础 复向量和 矩阵.
我们将给出一个抽象的,公理的规范定义。以后我们会 显示一些规范示例以阐明其含义。
定义
让
成为 向量空间。规范
是一个功能
与每个人相关
正实数,表示为
,
具有以下属性。
确定性:
绝对
同质性:哪里
是定义矢量空间的字段(即标量集)
用于标量乘法);
表示绝对值,如果
和模数,如果
.
三角形
不等式:
这些属性非常直观。
由于范数是向量长度的度量,因此 要求它应始终为正数。
确定性属性强加除零向量外的所有向量 应该有严格的正长度。
绝对同质性意味着如果按比例放大(或缩小)矢量
,
然后相应地调整其长度。
最后,在三角形不等式中
被解释为三角形的边,而
和
是另外两个方面。几何学的一个众所周知的事实是
三角形的一侧小于另外两个的长度之和
双方。三角形不等式公理将此特性扩展到
抽象向量空间中的长度。
在提供范数向量空间的一些示例之前,我们需要介绍 内部产品与规范之间的重要联系。
定义
让
是向量空间,
一个 内部产品 上
.
然后,功能
定义的
通过
是
称为归纳规范
.
我们将证明归纳规范确实满足了 规范。但是在此之前,我们需要证明一些初步结果。
我们强烈建议您阅读 接下来的三个证明 命题 因为它们不仅很短而且很简单 了解,但他们 是磨练我们技能的好方法 处理规范和内部产品。
为了理解下面的概括众所周知 毕达哥拉斯定理,我们需要记住,两个向量被称为 当且仅当其内积等于零时才正交。
主张
让
是配备有内积的向量空间
及其诱发的规范
.
如果两个向量
是正交的(即,
),
然后
证明是
如下:哪里:
在步
我们使用了内积的可加性;在步
我们已经使用了
和
;
在步
我们使用了归纳规范的定义。
毕达哥拉斯定理说,斜边的平方长度
()
一个直角三角形的等于另一个矩形的长度的总和
三角形的两侧
(
)。
三角形是正确的,因为我们假设正交(90度角)
两侧之间
和
.
给定两个向量,我们总是可以将第一个向量写为向量的标量倍数。 第二个,再加上与第二个正交的第三个向量。
主张
让
是配备有内积的向量空间
及其诱发的规范
.
给定两个向量
,
如果
,
然后存在一个标量
和一个向量
这样
那
只需验证第一个
平等:和
第二
一:
哪里:
在步
我们在内部的第一个参数中使用了可加性和同质性
产品;在步
我们使用了归纳规范的定义。
下一个命题中提出的不平等现象称为柯西·舒瓦兹(Cauchy-Schwarz) 不等式。
主张
让
是配备有内积的向量空间
及其诱发的规范
.
对于任何两个向量
,
以下不平等
持有:
如果
,
然后
,
结果,不平等就成立了。因此,我们可以专注于
哪一个
.
在这种情况下,我们可以使用前面所示的正交分解
部分:
哪里
正交于
.
由于的正交性
,
我们可以应用毕达哥拉斯的
定理:
以来
,
刚刚得出的平等意味着
那
哪一个
通过在两者上都求平方根
侧面
如果
我们将双方乘以
,
我们获得了期望的不等式。
现在,我们拥有几乎所有我们需要用来证明由 内部产品确实满足规范的所有特性。
我们只需要记住一些关于复数的事实。
首先,如果我们添加一个复杂的
数它的
复杂
共轭
我们
得到
哪里
是复数的所谓实数部分。
二,模数
满足不平等
因为
我们现在可以出发了!
主张
让
是向量空间,
一个 内部产品 上
.
然后,由内部产生的规范
产品
是
规范
.
让我们首先证明积极性和
确定性。对于任何
,
通过内在产品的积极性,我们有
那
和
通过内积的确定性,我们有
那
现在,
让我们证明绝对同质。假设
在复杂领域定义
.
然后,对于每个
,
我们有
哪里:
在步
我们在内积的第一个参数中使用了同质性;在
步
我们在内部的第二个参数中使用了共轭同质性
产品
(
是...的复共轭
);
在步
表示的模数
.
当向量空间在实场上时,绝对同质性也成立
因为
在这种情况下,
是的绝对值
.
最后,让我们证明三角不等式。对于任何
,
我们有
那
哪里:
在步
我们在两个参数中使用了内积的可加性;在步
我们使用了归纳规范的定义;在步
我们使用了内积的共轭对称性;在步
和
我们使用了复数中讨论的基本性质
上一节;在步
我们使用了柯西-施瓦兹不等式。通过取两者的平方根
上面得出的不平等的两面,我们
获得
哇!这是一长串的理论事实,却从未提出过 一个例子。等待是值得的,因为我们现在可以举个例子 涉及内部产品引起的规范,这是最实际的 与线性代数有关。
在此示例中,我们将讨论
具有真实条目的列向量。
让
成为所有人的空间
实向量(在实场上
)。
在里面 内部产品讲座,
我们已经解释了定义内部产品的最常见方法
在两个真实之间
向量
是
哪里
是的转置
,
是
的条目
和
是
的条目
.
此内积引发的规范
是
因此,实向量的范数等于该向量之和的平方根 其条目的平方。这是计算长度的普通方法 欧几里得空间中的向量。
例
定义然后
另一个重要的例子是
具有复杂条目的列向量。
让
成为所有人的空间
复数向量
(在复杂领域
)。
在里面 内部产品讲座,
两个之间的内积
向量
被定义为
是
哪里
是个 共轭转置
的
,
是
的条目
和
是...的复共轭
的条目
.
此内积引发的规范
是哪里
我们使用了一个事实,即模量
等于的平方根
乘以其复共轭
.
因此,复数向量范数的公式与 实向量的公式:我们只需要替换的绝对值 向量的模数
例
定义然后
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
成为所有人的空间
实向量。
对于任何
,
定义
哪里
是
的条目
.
显示
是一种规范。
功能
是正数,因为它是正数项的总和
.
这是肯定的,因为
当且仅当
对于
,
当且仅当
.
满足绝对均匀性
因为
注意
对于任何几个实数
,
我们
有
因此,
对于任何两个向量
所以
三角不等式成立。因此,规范的所有属性都是
满意。
让
成为所有人的空间
实向量。
对于任何
,
定义
哪里
是
的条目
.
显示
是一种规范。
功能
是正的,因为它是一组正项上的最大值
.
这是肯定的,因为
当且仅当
对于
,
当且仅当
.
满足绝对均匀性
因为
注意
给定两个实数
,
我们
有
对于
任何两个向量
,
我们
有
所以
三角不等式成立。因此,规范的所有属性都是
满意。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "向量的范数", 列克特ures 上 matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/vector-norm.