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向量和矩阵

通过 博士

本讲座非正式地介绍了矩阵和向量。

目录

矩阵

矩阵是二维数组,具有固定的行数和 列,并在每个行和列的交点处包含一个数字。一种 矩阵通常由方括号定界。

以下是具有两行两行的矩阵的示例 列: [eq1]

矩阵尺寸

矩阵的行数和列数构成其维度。如果一个 矩阵有 K 行和  $ L $ 专栏,我们说这是一个  $ Kimes L $ 矩阵,或者它具有维度  $ Kimes L $ .

定义一个 矩阵 [eq2] 的 矩阵 A 具有 $2$ 行和 $3$ 列。所以,我们说 A 是一个 2元3元 矩阵。

矩阵元素

矩阵中包含的数字称为矩阵的元素(或 条目或组件)。如果 A 是矩阵,元素在行的交点处 k 和列  $ l $ 通常用  $ A_ {k,l} $ (要么  $ A_ {kl} $ ) 我们说这是 $ left(k,l
权)$ -th 的元素 A.

A 成为  3美金2美金 矩阵定义为 如下: [eq3] 的 的元素 A 在第三行与第一列的交点处,即 $ left(3,1
权)$ -th 元件 是 [eq4]

向量

如果矩阵只有一行或只有一列,则称为向量。

仅一行的矩阵称为a 行向量 .

$ 1imes 3 $ 矩阵 [eq5] 是 行向量,因为它只有一行。

只有一列的矩阵称为 列向量.

 $ 2imes 1 $ 矩阵 [eq6] 是 一列向量,因为它只有一列。

标量

仅具有一行和一列的矩阵称为标量。

 $ 1imes 1 $ 矩阵 [eq7] 是 标量。换句话说,标量是单个数字。

相等矩阵

矩阵之间的等式以明显的方式定义。二  $ Kimes L $ 矩阵 A $ B $ 当且仅当它们所有尺寸相同时,才具有相同的尺寸 对应元素相等 其他: [eq8]

零矩阵

矩阵 A 是一个 零矩阵 如果其所有元素都等于零,并且 我们写 [eq9]

如果 A 是一个 2元3元 矩阵和 $A=0$, 然后 [eq10]

方阵

A  $ Kimes L $ 矩阵称为 方阵 如果它的行数是 与它的列数相同,即  $ K = L $ .

2元2元 矩阵 [eq11] 是 方阵。

 3美金3美金 矩阵 [eq12] 是 方阵。

对角线和非对角线元素

A 是一个正方形矩阵。的 对角线 (或 A) 是所有元素的集合  $ A_ {k,l} $ 这样  $ k = l $ . 属于对角线的元素称为对角线元素,所有 其他元素称为非对角线。

A 成为  3美金3美金 矩阵定义 通过 [eq13] 所有 的对角线元素 A 等于 $3$, 而三个对角线元素等于 $5$, $2,$, 和 1, 分别。

身份矩阵

方阵称为 单位矩阵 如果全部 对角线元素等于 1 并且其所有非对角线元素都等于 0. 通常用字母表示 I.

 3美金3美金 矩阵 [eq14] 是 的  3美金3美金 单位矩阵

矩阵转置

如果 A 是一个  $ Kimes L $ 矩阵,其 转置 ,表示为 $ A ^ {op} $, 是个  $石灰K $ 这样的矩阵 $ left(l,k
权)$ -th 的元素  $ A ^ {op} $ 等于 $ left(k,l
权)$ -th 的元素 A 对于 任何 k $ l $ 满意的 $ 1leq kleq K $$ 1leq lleq L $. 换句话说,  $ A ^ {op} $ 等于的行 A (等效地,  $ A ^ {op} $ 等于的列 A )。

A 成为 2元3元 定义的矩阵 [eq15] 它的 转置  $ A ^ {op} $ 以下是  3美金2美金 矩阵: [eq16]

A 成为 2元2元 定义的矩阵 [eq17] 它的 转置  $ A ^ {op} $ 以下是 2元2元 矩阵: [eq18]

对称矩阵

方阵据说是 对称的 如果等于 转置。

A 成为 2元2元 定义的矩阵 [eq19] 它的 转置  $ A ^ {op} $ 以下是 2元2元 矩阵: [eq20] 哪一个 等于 A. 因此, A 是对称的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 成为  3美金3美金 矩阵定义 通过 [eq21] 找 它的转置。

转置  $ A ^ {op} $ 是一个矩阵,其列等于行的 A:[eq22]

练习2

A 成为 $ 3imes 1 $ 定义的列向量 通过 [eq23] 节目 它的转置是一个行向量。

转置  $ A ^ {op} $ 是一个矩阵,因此其行等于 A. 但 A 只有一列,这意味着  $ A ^ {op} $ 只有一行。因此,这是连续的 向量: [eq24]

练习3

A 成为  3美金3美金 矩阵定义 通过 [eq25] 是 它对称吗?

A 如果等于其转置,则为对称。转置 A[eq26] 哪一个 不等于 A. 因此, A 不对称

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "向量和矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/vectors-and-matrices.

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