本讲座非正式地介绍了矩阵和向量。
矩阵是二维数组,具有固定的行数和 列,并在每个行和列的交点处包含一个数字。一种 矩阵通常由方括号定界。
例
以下是具有两行两行的矩阵的示例
列:
矩阵的行数和列数构成其维度。如果一个
矩阵有
行和
专栏,我们说这是一个
矩阵,或者它具有维度
.
例
定义一个
矩阵 的
矩阵
具有
行和
列。所以,我们说
是一个
矩阵。
矩阵中包含的数字称为矩阵的元素(或
条目或组件)。如果
是矩阵,元素在行的交点处
和列
通常用
(要么
)
我们说这是
-th
的元素
.
例
让
成为
矩阵定义为
如下:
的
的元素
在第三行与第一列的交点处,即
-th
元件
是
如果矩阵只有一行或只有一列,则称为向量。
仅一行的矩阵称为a 行向量 .
例
的
矩阵
是
行向量,因为它只有一行。
只有一列的矩阵称为 列向量.
例
的
矩阵
是
一列向量,因为它只有一列。
仅具有一行和一列的矩阵称为标量。
例
的
矩阵
是
标量。换句话说,标量是单个数字。
矩阵之间的等式以明显的方式定义。二
矩阵
和
当且仅当它们所有尺寸相同时,才具有相同的尺寸
对应元素相等
其他:
矩阵
是一个 零矩阵 如果其所有元素都等于零,并且
我们写
例
如果
是一个
矩阵和
,
然后
A
矩阵称为 方阵 如果它的行数是
与它的列数相同,即
.
例
的
矩阵
是
方阵。
例
的
矩阵
是
方阵。
让
是一个正方形矩阵。的 对角线 (或
)
是所有元素的集合
这样
.
属于对角线的元素称为对角线元素,所有
其他元素称为非对角线。
例
让
成为
矩阵定义
通过
所有
的对角线元素
等于
,
而三个对角线元素等于
,
,
和
,
分别。
方阵称为 单位矩阵 如果全部
对角线元素等于
并且其所有非对角线元素都等于
.
通常用字母表示
.
例
的
矩阵
是
的
单位矩阵
如果
是一个
矩阵,其 转置 ,表示为
,
是个
这样的矩阵
-th
的元素
等于
-th
的元素
对于
任何
和
满意的
和
.
换句话说,
等于的行
(等效地,
等于的列
)。
例
让
成为
定义的矩阵
它的
转置
以下是
矩阵:
例
让
成为
定义的矩阵
它的
转置
以下是
矩阵:
方阵据说是 对称的 如果等于 转置。
例
让
成为
定义的矩阵
它的
转置
以下是
矩阵:
哪一个
等于
.
因此,
是对称的。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
成为
矩阵定义
通过
找
它的转置。
转置
是一个矩阵,其列等于行的
:
让
成为
定义的列向量
通过
节目
它的转置是一个行向量。
转置
是一个矩阵,因此其行等于
.
但
只有一列,这意味着
只有一行。因此,这是连续的
向量:
让
成为
矩阵定义
通过
是
它对称吗?
如果等于其转置,则为对称。转置
是
哪一个
不等于
.
因此,
不对称
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "向量和矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/vectors-and-matrices.