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向量和矩阵

通过 博士

本讲座非正式地介绍了矩阵和向量。

目录

目录

  1. 矩阵

  2. 矩阵尺寸

  3. 矩阵元素

  4. 向量

  5. 标量

  6. 相等矩阵

  7. 零矩阵

  8. 方阵

  9. 对角线和非对角线元素

  10. 身份矩阵

  11. 矩阵转置

  12. 对称矩阵

  13. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

矩阵

矩阵是二维数组，具有固定的行数和 列，并在每个行和列的交点处包含一个数字。一种 矩阵通常由方括号定界。

例 以下是具有两行两行的矩阵的示例 列： [eq1]

矩阵尺寸

矩阵的行数和列数构成其维度。如果一个 矩阵有 K 行和 $ L $ 专栏，我们说这是一个 $ Kimes L $ 矩阵，或者它具有维度 $ Kimes L $ .

例 定义一个 矩阵 [eq2] 的 矩阵 A 具有 $2$ 行和 $3$ 列。所以，我们说 A 是一个 2元3元 矩阵。

矩阵元素

矩阵中包含的数字称为矩阵的元素（或 条目或组件）。如果 A 是矩阵，元素在行的交点处 k 和列 $ l $ 通常用 $ A_ {k，l} $ （要么 $ A_ {kl} $ ) 我们说这是 $ left（k，l 权）$ -th 的元素 A.

例 让 A 成为 3美金2美金 矩阵定义为 如下： [eq3] 的 的元素 A 在第三行与第一列的交点处，即 $ left（3,1 权）$ -th 元件 是 [eq4]

向量

如果矩阵只有一行或只有一列，则称为向量。

仅一行的矩阵称为a 行向量 .

例 的 $ 1imes 3 $ 矩阵 [eq5] 是 行向量，因为它只有一行。

只有一列的矩阵称为 列向量.

例 的 $ 2imes 1 $ 矩阵 [eq6] 是 一列向量，因为它只有一列。

标量

仅具有一行和一列的矩阵称为标量。

例 的 $ 1imes 1 $ 矩阵 [eq7] 是 标量。换句话说，标量是单个数字。

相等矩阵

矩阵之间的等式以明显的方式定义。二 $ Kimes L $ 矩阵 A 和 $ B $ 当且仅当它们所有尺寸相同时，才具有相同的尺寸 对应元素相等 其他： [eq8]

零矩阵

矩阵 A 是一个 零矩阵 如果其所有元素都等于零，并且 我们写 [eq9]

例 如果 A 是一个 2元3元 矩阵和 $A=0$, 然后 [eq10]

方阵

A $ Kimes L $ 矩阵称为 方阵 如果它的行数是 与它的列数相同，即 $ K = L $ .

例 的 2元2元 矩阵 [eq11] 是 方阵。

例 的 3美金3美金 矩阵 [eq12] 是 方阵。

对角线和非对角线元素

让 A 是一个正方形矩阵。的 对角线 （或 A) 是所有元素的集合 $ A_ {k，l} $ 这样 $ k = l $ . 属于对角线的元素称为对角线元素，所有 其他元素称为非对角线。

例 让 A 成为 3美金3美金 矩阵定义 通过 [eq13] 所有 的对角线元素 A 等于 $3$, 而三个对角线元素等于 $5$, $2,$, 和 1, 分别。

身份矩阵

方阵称为 单位矩阵 如果全部 对角线元素等于 1 并且其所有非对角线元素都等于 0. 通常用字母表示 I.

例 的 3美金3美金 矩阵 [eq14] 是 的 3美金3美金 单位矩阵

矩阵转置

如果 A 是一个 $ Kimes L $ 矩阵，其 转置 ，表示为 $ A ^ {op} $, 是个 $石灰K $ 这样的矩阵 $ left（l，k 权）$ -th 的元素 $ A ^ {op} $ 等于 $ left（k，l 权）$ -th 的元素 A 对于 任何 k 和 $ l $ 满意的 $ 1leq kleq K $ 和 $ 1leq lleq L $. 换句话说， $ A ^ {op} $ 等于的行 A （等效地， $ A ^ {op} $ 等于的列 A ）。

例 让 A 成为 2元3元 定义的矩阵 [eq15] 它的 转置 $ A ^ {op} $ 以下是 3美金2美金 矩阵： [eq16]

例 让 A 成为 2元2元 定义的矩阵 [eq17] 它的 转置 $ A ^ {op} $ 以下是 2元2元 矩阵： [eq18]

对称矩阵

方阵据说是 对称的 如果等于 转置。

例 让 A 成为 2元2元 定义的矩阵 [eq19] 它的 转置 $ A ^ {op} $ 以下是 2元2元 矩阵： [eq20] 哪一个 等于 A. 因此， A 是对称的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 A 成为 3美金3美金 矩阵定义 通过 [eq21] 找 它的转置。

解

转置 $ A ^ {op} $ 是一个矩阵，其列等于行的 A:[eq22]

练习2

让 A 成为 $ 3imes 1 $ 定义的列向量 通过 [eq23] 节目 它的转置是一个行向量。

解

转置 $ A ^ {op} $ 是一个矩阵，因此其行等于 A. 但 A 只有一列，这意味着 $ A ^ {op} $ 只有一行。因此，这是连续的 向量： [eq24]

练习3

让 A 成为 3美金3美金 矩阵定义 通过 [eq25] 是 它对称吗？

解

A 如果等于其转置，则为对称。转置 A 是 [eq26] 哪一个 不等于 A. 因此， A 不对称

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "向量和矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/vectors-and-matrices.

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