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伯努利分布

通过 博士

假设您进行的实验有两种可能的结果:要么成功,要么成功 或失败。成功发生在 可能性 p, 失败发生的可能性 $1-p$. A 随机变量 有价值 1 成功的话 0 在失败的情况下称为伯努利随机变量(或者,它是 据说具有伯努利分布)。

目录

定义

伯努利随机变量的特征如下。

定义X 成为 离散随机 变量。让它 支持[eq1][eq2]. 我们说 X 有一个 伯努利分布 带参数 p 如果它是 概率质量 功能[eq3]

具有伯努利分布的随机变量也称为伯努利 随机变量。

请注意,根据上述定义, 指示符 功能 是伯努利随机变量。

以下是证明 [eq4] 是一个 合法概率质量函数.

证明

非负性很明显。我们需要证明 的总和 [eq5] 在其支持等于 1. 这证明为 如下:[eq6]

期望值

期望值 伯努利随机变量 X[eq7]

证明

它 可以导出为 如下:[eq8]

方差

方差 伯努利随机变量 X[eq9]

证明

它 可以归功于平常 方差公式 ([eq10]):[eq11]

瞬间产生功能

力矩产生功能 的 伯努利随机变量 X 为任何定义 R中的t:[eq12]

证明

使用 力矩产生函数的定义,我们 得到[eq13]明显, 以上期望值存在于任何 R中的t.

特征功能

特征函数 伯努利随机数 变量 X[eq14]

证明

使用 特征函数的定义 获得[eq15]

分配功能

分配功能 伯努利随机变量 X[eq16]

证明

记住分布的定义 功能:[eq17]和 事实 X 可以取任何一个值 0 或价值 1. 如果 $x<0$, 然后 [eq18] 因为 X 不能取严格小于的值 0. 如果 [eq19], 然后 [eq20] 因为 0 是唯一严格小于的值 1X 可以采取。最后,如果 $ xgeq 1 $, 然后 [eq21] 因为所有的价值观 X 可以取小于或等于 1.

更多细节

伯努利与二项分布之间的关系

独立伯努利随机变量的总和是二项式随机变量。 在标题为“讲座”的讲座中对此进行了讨论和证明。 二项分布.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

XY 是带有参数的两个独立的伯努利随机变量 p. 推导他们的概率质量函数 和[eq22]

的概率质量函数 X[eq23]的 的概率质量函数 Y[eq24]的 支持 Z (一组值 Z 可以采取) 是[eq25] 卷积公式 为了 两个自变量之和的概率质量函数 是[eq26]哪里 $ R_ {Y} $ 是...的支持 Y. 什么时候 $z=0$, 公式 给[eq27]什么时候 $z=1$, 公式 给[eq28]什么时候 $z=2$, 公式 给[eq29]因此, 的概率质量函数 Z[eq30]

练习2

X 是具有参数的伯努利随机变量 $ p = 1/2 $. 找到第十个 时刻.

时刻 产生功能X[eq31]的 的第十个时刻 X 等于第十 衍生物 的 它的力矩生成函数,在 $t=0$:[eq32][eq33]所以 那[eq34]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "伯努利分布", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/Bernoulli-distribution.

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