假设您进行的实验有两种可能的结果:要么成功,要么成功
或失败。成功发生在 可能性
,
失败发生的可能性
.
A 随机变量 有价值
成功的话
在失败的情况下称为伯努利随机变量(或者,它是
据说具有伯努利分布)。
伯努利随机变量的特征如下。
具有伯努利分布的随机变量也称为伯努利 随机变量。
请注意,根据上述定义, 指示符 功能 是伯努利随机变量。
以下是证明
是一个 合法概率质量函数.
非负性很明显。我们需要证明
的总和
在其支持等于
.
这证明为
如下:
的 期望值 伯努利随机变量
是
它
可以导出为
如下:
的 方差 伯努利随机变量
是
它
可以归功于平常
方差公式
():
的 力矩产生功能 的
伯努利随机变量
为任何定义
:
使用
力矩产生函数的定义,我们
得到明显,
以上期望值存在于任何
.
的 特征函数 伯努利随机数
变量
是
使用
特征函数的定义
获得
的 分配功能
伯努利随机变量
是
记住分布的定义
功能:和
事实
可以取任何一个值
或价值
.
如果
,
然后
因为
不能取严格小于的值
.
如果
,
然后
因为
是唯一严格小于的值
那
可以采取。最后,如果
,
然后
因为所有的价值观
可以取小于或等于
.
独立伯努利随机变量的总和是二项式随机变量。 在标题为“讲座”的讲座中对此进行了讨论和证明。 二项分布.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
和
是带有参数的两个独立的伯努利随机变量
.
推导他们的概率质量函数
和
的概率质量函数
是
的
的概率质量函数
是
的
支持
(一组值
可以采取)
是
的
卷积公式 为了
两个自变量之和的概率质量函数
是
哪里
是...的支持
.
什么时候
,
公式
给
什么时候
,
公式
给
什么时候
,
公式
给
因此,
的概率质量函数
是
让
是具有参数的伯努利随机变量
.
找到第十个 时刻.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "伯努利分布", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/Bernoulli-distribution.