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F真人在线斗地主

通过 博士

随机变量 X 如果可以写为F,则具有F真人在线斗地主 比[eq1]之间 a 卡方随机变量 $ Y_ {1} $$ n_ {1} $ 自由度和卡方随机变量 $ Y_ {2} $, 独立于 $ Y_ {1} $, 与 $ n_ {2}$ 自由度(两个随机变量分别除以 它的自由度)。

F真人在线斗地主的重要性源于以下事实: 统计中经常会遇到此类问题。

目录

定义

F个随机变量的特征如下。

定义 X 成为 连续 随机变量。让它 支持 被设置 正实 数字:[eq2][eq3]. 我们说 X 有一个 F真人在线斗地主$ n_ {1} $$ n_ {2}$ 度数 自由的前提是 概率密度 功能[eq4]哪里 $ c $ 是一个 不变:[eq5]$ Bleft({}
权)$ 是个 Beta功能.

为了更好地了解F真人在线斗地主,您可以看一下它的 密度图.

与伽玛真人在线斗地主的关系

F随机变量可以写成 伽玛随机变量 带参数 $ n_ {1} $$ h_ {1} $, 参数在哪里 $ h_ {1} $ 等于另一个Gamma随机变量的倒数,独立于 第一个,带有参数 $ n_ {2}$$ h_ {2} = 1 $.

命题(整体 表示) 的概率密度函数 X 可以写 如 [eq6]哪里:

  1. [eq7] 是具有参数的Gamma随机变量的概率密度函数 $ n_ {1} $$ frac {1} {z} $:[eq8]

  2. [eq9] 是具有参数的Gamma随机变量的概率密度函数 $ n_ {2}$$ h_ {2} = 1 $:[eq10]

证明

我们需要证明 那[eq11]哪里[eq12][eq13]让 我们从被积函数开始: [eq14]哪里 [eq15][eq16] 是具有Gamma的随机变量的概率密度函数 带参数真人在线斗地主 $ n_ {1} + n_ {2} $[eq17]. 因此,[eq18]

与卡方真人在线斗地主的关系

在引言中,我们已经陈述了(没有证明)随机变量 X 具有F真人在线斗地主 $ n_ {1} $$ n_ {2}$ 自由度,如果可以写成 比[eq19]哪里:

  1. $ Y_ {1} $ 是具有以下项的卡方随机变量: $ n_ {1} $ 自由程度;

  2. $ Y_ {2} $ 是卡方随机变量,独立于 $ Y_ {1} $, 与 $ n_ {2}$ 自由程度。

该陈述可以证明如下。

证明

此语句等效于 上面证明的陈述(与Gamma真人在线斗地主有关): X 可以被认为是带有参数的Gamma随机变量 $ n_ {1} $$ h_ {1} $, 参数在哪里 $ h_ {1} $ 等于另一个Gamma随机变量的倒数 Z, 独立于第一个参数 $ n_ {2}$$ h_ {2} = 1 $. 等价可以证明如下。

由于带有参数的Gamma随机变量 $ n_ {1} $$ h_ {1} $ 只是比率之间的乘积 $ h_ {1} / n_ {1} $ 和一个卡方随机变量 $ n_ {1} $ 自由度(请参阅标题为“ 伽玛真人在线斗地主),我们可以写 [eq20]哪里 $ Y_ {1} $ 是具有以下项的卡方随机变量: $ n_ {1} $ 自由程度。现在,我们知道 $ h_ {1} $ 等于另一个Gamma随机变量的倒数 Z, 独立于 $ Y_ {1} $, 带参数 $ n_ {2}$$ h_ {2} = 1 $. 因此,[eq21]但 具有参数的Gamma随机变量 $ n_ {2}$$ h_ {2} = 1 $ 只是比率之间的乘积 $ 1 / n_ {2} $ 和一个卡方随机变量 $ n_ {2}$ 自由程度。因此,我们可以写 [eq22]

期望值

期望值 F随机变量 X 仅针对 $ n_ {2}>2$ 这是平等的 至[eq23]

证明

它 可以归功于Beta的完整表示 功能:[eq24]

在上面的推导中,我们使用了 伽玛功能 和Beta功能。它是 还应清楚,只有在以下情况下才能明确定义期望值: $ n_ {2}>2$: 什么时候 $ n_ {2} leq 2 $, 上述不正确的积分不收敛(Beta的两个论点 功能必须严格为正)。

方差

方差 F随机变量 X 仅针对 $ n_ {2}>4$ 这是平等的 至[eq25]

证明

它 可以归功于平常 方差公式 ([eq26]) 和Beta的完整表示 功能:[eq27]

在上面的推导中,我们使用了Gamma函数的属性和 Beta函数。同样很明显,期望值是明确定义的 只有当 $ n_ {2}>4$: 什么时候 $ n_ {2} leq 4 $, 上述不正确的积分不收敛(Beta的两个论点 功能必须严格为正)。

更高的时刻

k-th 时刻 F随机变量 X 仅针对 $ n_ {2}>2k$ 这是平等的 至[eq28]

证明

它 通过使用以下定义获得 时刻:[eq29]

在上面的推导中,我们使用了Gamma函数的属性和 Beta函数。同样很明显,期望值是明确定义的 只有当 $ n_ {2}>2k$: 什么时候 $ n_ {2} leq 2k $, 上述不正确的积分不收敛(Beta的两个论点 功能必须严格为正)。

瞬间产生功能

F随机变量 X 不具备 瞬间产生 功能.

证明

当一个随机变量 X 具有力矩产生功能,然后 k-th 的时刻 X 存在并且对任何事物都是有限的 $ kin U {2115} $. 但是我们已经证明了 k-th 的时刻 X 仅存在于 $k<n_{2}/2$. 因此, X 不能有瞬间生成功能。

特征功能

F的特征函数没有简单的表达 分配。它可以用 汇合 第二类超几何函数 (一定的解决方案 微分方程,称为合流超几何微分方程)。 有兴趣的读者可以咨询 菲利普斯 (1982).

分配功能

分配功能 F随机变量 是[eq30]哪里 的 积分[eq31]是 称为不完整的Beta函数,通常使用 计算机算法的帮助。

证明

这证明为 如下:[eq32]

密度图

下图说明了F真人在线斗地主的密度形状 更改其参数时也会更改。

情节1-增加第一个参数

下图包含两个F概率密度函数的图:

通过增加第一个参数 $ n_ {1} = 4 $$ n_ {1} = 20 $, 真人在线斗地主的平均值(由图中的垂直线表示) 不变,但是密度从尾巴到中心 真人在线斗地主。

F密度图1

曲线2-增加​​第二个参数

在下图中:

通过增加第二个参数 $ n_ {2}=4$$ n_ {2} = 20 $, 真人在线斗地主的平均值(由图中的垂直线表示) 减少(从 $2$$ frac {10} {9} $) 密度从尾巴(主要是右尾巴)转移到 真人在线斗地主的中心。

F密度图2

图3-增加两个参数

在下一页情节中:

通过增加两个参数,真人在线斗地主的均值减小(从 $2$$ frac {10} {9} $) 密度从尾巴转移到真人在线斗地主的中心。作为一个 结果,真人在线斗地主呈类似于钟形的钟形 正态真人在线斗地主.

F密度图3

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X_1 是具有参数的Gamma随机变量 $ n_ {1} = 3 $$ h_ {1} = 2 $. 让 X_2 是另一个Gamma随机变量,独立于 X_1, 带参数 $ n_ {2}=5$$ h_ {1} = 6 $. 找到期望值 比[eq33]

我们可以 写[eq34]哪里 $ Z_ {1} $$ Z_ {2} $ 是两个独立的Gamma随机变量, $ Z_ {1} $$ overline {n} _ {1} = 3 $$ overline {h} _ {1} = 1 $ 和参数 $ Z_ {2} $$ overline {n} _ {2} = 5 $$ overline {h} _ {2} = 1 $ (请参阅标题为“ 伽玛 分配)。利用这个事实,可以写出比率 如 [eq35]哪里 $ Z_ {1} / Z_ {2} $ 具有参数的F真人在线斗地主 $ n_ {1} = 3 $$ n_ {2}=5$. 因此,[eq36]

练习2

使用参数找到F随机变量的第三矩 $ n_ {1} = 6 $$ n_ {2} = 18 $.

我们需要将公式用于 k-th F随机的时刻 变量:[eq37]

插入参数值,我们 获得[eq38]哪里 我们已经使用了 伽玛 功能 和阶乘函数。

参考文献

菲利普斯(1982) 真正的特征 F真人在线斗地主的功能,Biometrika,69,261-264。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "F真人在线斗地主", 列克ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/F-distribution.

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