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泊松分布

通过 博士

泊松分布与 指数的 分配。假设一个事件可以在给定的单位内发生多次 时间。当事件的发生总数未知时,我们可以 认为它是一个随机变量。这个随机变量具有泊松 两次连续出现之间的时间间隔 事件具有指数分布,并且与上一个事件无关 发生。

具有泊松分布的随机变量的经典示例是 呼叫中心接听的电话数量。如果时间间隔介于 两个连续的电话具有指数分布,它是 与先前呼叫的到达时间无关,然后与总数 一小时内收到的电话数量具有泊松分布。

泊松和指数分布

上面的图说明了这个概念,其中电话数量 将接收到的时间绘制为时间的函数。功能图 每次电话到达时向上跳。两次之间经过的时间 连续的电话呼叫等于每个水平段的长度,并且 它具有指数分布。 60分钟内接到的电话数量 等于垂直花括号突出显示的段的长度 并且具有泊松分布。

以下各节对主要 泊松分布的特征。

目录

定义

泊松随机变量的特征如下。

定义X 成为 离散随机 变量。让它 支持 被设置 非负整数 数字:[eq1][eq2]. 我们说 X 有一个 泊松分布 带参数 $ lambda $ 如果它是 概率质量 功能[eq3]哪里 $ x!$ 是个 阶乘x.

与指数分布的关系

泊松分布与指数分布之间的关系 通过以下命题总结。

主张 一个时间单位内事件的发生次数具有泊松 带参数分布 $ lambda $ 如果两次连续发生事件之间经过的时间有一个 带参数的指数分布 $ lambda $ 并且它与先前的事件无关。

证明

表示为 X 事件发生的次数和 通过[eq4]注意 至少有 x 事件的发生(即, $ Xgeq x $) 在且仅当在两个时间间隔之间经过的时间之和 x 发生时间少于一个时间单位。换句话说,事件 [eq5][eq6]重合。 因此,[eq7]对于 任何 $ xin R_ {X} $. 因此, X 可以从等待时间的分布中得出 [eq8]. 我们将证明等待时间为 指数意味着 X 具有泊松分布。表示为 Z 等待的总和 时间:[eq9]以来 的 独立指数随机和 变数 具有通用参数 $ lambda $ 是一个 伽玛随机变量 带参数 $2x$$ frac {x} {lambda} $, 然后 Z 是具有参数的Gamma随机变量 $2x$$ frac {x} {lambda} $, 即,其 可能性 密度函数[eq10]哪里 [eq11]和 最后的平等源于我们只考虑整数的事实 的值 x. 我们需要整合密度函数来计算 Z 小于 1:[eq12]的 可以通过零件积分来计算最后积分 $x-1$ 时间:[eq13]相乘 通过 $ c $, 我们 获得[eq14]从而, 我们有 获得[eq15]但 这正是我们得到的 X 有泊松 分配:[eq16]

期望值

期望值 泊松随机变量 X[eq17]

证明

它 可以导出为 如下:[eq18]

方差

方差 泊松随机变量 X[eq19]

证明

它 可以归功于平常 方差公式 ([eq20]):[eq21]

瞬间产生功能

力矩产生功能 泊松的 随机变量 X 为任何定义 R中的t:[eq22]

证明

通过 使用力矩生成函数的定义,我们 得到[eq23]哪里[eq24]是 指数函数的通常泰勒级数展开。此外, 因为该系列收敛于任何值 $ t $, 泊松随机变量的矩生成函数对于任何 R中的t.

特征功能

特征函数 泊松随机数 变量 X[eq25]

证明

通过 使用特征函数的定义,我们 获得[eq26]哪里[eq27]是 指数函数的通常泰勒级数展开(请注意, 系列收敛于任何值 $ t $)。

分配功能

分配功能 泊松随机变量 X[eq28]哪里 [eq29] 是 地板 x, 即最大整数不大于 x.

证明

通过使用分配的定义 功能,我们 得到[eq30]

的价值 [eq31] 通常由计算机算法来计算。例如,MATLAB命令:

poisscdf(x,lambda)

返回该点的分布函数的值 x 当分布的参数等于 lambda.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

从客户到达商店到到达之间经过的时间 下一位客户的指数分布与期望值相等 到15分钟此外,它与先前的到达无关。什么是 下次有6个以上顾客到达商店的可能性 小时?

如果随机变量具有指数 带参数分布 $ lambda $, 那么它的期望值等于 $ 1 / lambda $. 这里[eq32]因此, $ lambda = 4 $. 如果到达时间是独立指数随机变量,则 参数 $ lambda $, 则单位时间内的到达次数具有泊松分布 带参数 $ lambda $. 因此,下一次到达商店的顾客数量 小时(用 X) 是具有参数的泊松随机变量 $ lambda = 4 $. 下次有6位以上的顾客到达商店的可能性 小时 是[eq33]和 的价值 [eq34] 可以使用计算机算法(例如MATLAB)进行计算 命令[eq35]

练习2

在呼叫中心,从电话到达到呼叫结束之间经过的时间 下一个电话的到达与预期呈指数分布 值等于15秒。此外,它独立于先前的 到达。在此期间少于50个电话到达的概率是多少 接下来的15分钟?

如果随机变量具有指数 带参数分布 $ lambda $, 那么它的期望值等于 $ 1 / lambda $. 这里[eq36]哪里, 在上一个等式中,我们以15分钟为单位。因此, $ lambda = 60 $. 如果到达时间是独立指数随机变量,则 参数 $ lambda $, 则单位时间内的到达次数具有泊松分布 带参数 $ lambda $. 因此,在接下来的15分钟内到达的电话数量 (用 X) 是具有参数的泊松随机变量 $ lambda = 60 $. 在接下来的15个时间内不到50个电话到达的概率 分钟 是[eq37]和 的价值 [eq38] 可以使用计算机算法(例如MATLAB)进行计算 命令

poisscdf(49,60)

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "泊松分布", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/Poisson-distribution.

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