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贝塔分布

通过 博士

贝塔分布是具有两个的连续概率分布 参数。它最常见的用途之一是对某人的不确定性进行建模 实验成功的可能性。

假设概率实验只能有两个结果,要么成功,要么 很有可能 X, 或失败的可能性 $1-X$. 还假设 X 未知,并且所有可能的值均被视为可能性相同。这个 不确定性可以通过指定为 X a 均匀分布 在间隔 $ left [0,1
权] $. 这是适当的,因为 X, 成为一个 可能性,只能取介于 01; 此外,均匀分布将相等的概率密度分配给所有 间隔中的点,这反映了以下事实: X 先验地被认为比其他所有可能性更大。

现在,假设我们执行 n 实验的独立重复,我们观察到 k 成功和 $ n-k $ 失败。完成实验后,我们自然想知道我们如何 应该修改最初分配给的分配 X, 为了适当考虑由 观察到的结果。换句话说,我们要计算 条件分布X, 以我们观察到的成功和失败的数量为条件。的 此计算的结果是Beta分布。特别是 的条件分布 X, 以观察为条件 k 从中取得成功 n 试用,是带有参数的Beta分布 $k+1$$ n-k + 1 $.

目录

定义

贝塔分布的特征如下。

定义X 成为 连续 随机变量。让它 支持 成为单位 间隔:[eq1][eq2]. 我们说 X 有一个 贝塔分布 带有形状参数 $ lpha $$ eta $ 当且仅当其 概率密度 功能[eq3]哪里 $ Bleft({}
权)$ 是个 贝塔功能.

具有Beta分布的随机变量也称为Beta随机 变量。

以下是证明 [eq4] 是一个 合法概率密度函数.

证明

非负性源于以下事实: [eq5] 当为非负时 [eq6][eq7], 然后 [eq8] 严格为正(这是伽玛函数的比率, 当他们的论点严格为肯定时为肯定-请参阅演讲为题 伽玛功能)。那是不可或缺的 [eq9] 过度 R 等于 1 被证明为 如下:[eq10]哪里 我们使用积分表示 [eq11]a 可以在标题为“讲座”的讲座中找到证明 贝塔 功能.

期望值

期望值 贝塔随机变量 X[eq12]

证明

它 可以导出为 如下:[eq13]

方差

方差 贝塔随机变量 X[eq14]

证明

它 可以归功于平常 方差公式 ([eq15]):[eq16]

更高的时刻

k-th 时刻 贝塔随机变量 X[eq17]

证明

通过 时刻的定义,我们 有[eq18]

在哪里 $ rame {A} $ 我们递归地使用了以下事实: [eq19].

瞬间产生功能

力矩产生功能 贝塔的 随机变量 X 为任何定义 $ t $ 和它 是[eq20]

证明

通过 使用力矩生成函数的定义,我们 获得[eq21]注意 矩生成函数存在并且为任何 $ t $ 因为 积分[eq22]是 保证存在并且是有限的,因为 被积分[eq23]是 连续输入 x 在边界区间内 $ left [0,1
权] $.

上面有关矩生成函数的公式对于 计算,因为它涉及一个无限的总和以及乘积 的期限无限期地增加。然而 功能[eq24]是 一个函数,称为 汇合 第一种超几何函数,这已经被广泛 在许多数学分支学习。其属性是众所周知的 大多数软件都提供用于其计算的高效算法 用于科学计算的软件包。

特征功能

特征函数 贝塔随机数 变量 X[eq25]

证明

的 特征函数的推导几乎与 力矩生成函数的推导(只需替换 $ t $$ it $ 在那个证明中)。

关于力矩生成函数的注释,包括关于 合流超几何函数的计算,也适用于 特征函数,除以下事实外与mgf相同: 那 $ t $ 被替换为 $ it $.

分配功能

贝塔随机变量的分布函数 X[eq26]哪里 的 功能[eq27]是 叫 贝塔功能不完整 并且通常通过专门的计算机算法进行计算。

证明

对于 $x<0$, [eq28], 因为 X 不能小于 0. 对于 $x>1$, [eq29] 因为 X 始终小于或等于 1. 对于 [eq30],[eq31]

更多细节

在以下小节中,您可以找到有关Beta的更多详细信息 分配。

与均匀分布的关系

以下命题陈述了Beta与制服之间的关系 分布。

主张 带参数的Beta分布 $ lpha = 1 $$ eta = 1 $ 是间隔上的均匀分布 $ left [0,1
权] $.

证明

什么时候 $ lpha = 1 $$ eta = 1 $, 我们有 [eq32]因此, 带参数的Beta分布的概率密度函数 $ lpha = 1 $$ eta = 1 $ 可以写成 [eq33]但 后者是一个均匀分布的概率密度函数 间隔 $ left [0,1
权] $.

与二项式分布的关系

以下命题陈述了Beta与 二项式分布。

主张 假设 X 是具有参数的Beta分布的随机变量 $ lpha $$ eta $. 让 Y 是另一个随机变量,使得其分布取决于 X 是一个 二项分布 带参数 nX. 然后,条件分布 X 给定 Y = y 是带有参数的Beta分布 $ lpha + y $$ eta + n-y $.

证明

我们正在处理一个连续的随机 变量 X 和一个离散随机变量 Y (它们共同形成具有混合坐标的随机向量)。 略微使用符号,我们将继续 Y 是连续的,将其概率质量函数视为 概率密度函数。放心,这可以充分做到 严格的(通过相对于 计数措施 在...的支持下 Y)。 通过假设 Y 有一个二项分布的条件是 X, 这样它 有条件的 概率质量函数[eq34]哪里 $ inom {n} {y} $ 是一个 二项式系数. 同样,通过假设 X 具有贝塔分布,因此是概率密度函数 是[eq35]因此, 的 联合 概率密度函数XY[eq36]从而, 我们已经考虑了联合概率密度函数 如 [eq37]哪里[eq38]是 带参数的Beta分布的概率密度函数 $ lpha + y $$ eta + n-y $, 和功能 [eq39] 不依赖 x. 通过题为“ 联合概率密度分解 职能,这意味着 X 给定 Y = y[eq40]从而, 正如我们想证明的那样, X 给定 Y = y 是带有参数的Beta分布 $ lpha + y $$ eta + n-y $.

通过将该命题与上一个命题相结合,我们得出以下结论 结果。

主张 假设 X 是具有均匀分布的随机变量。让 Y 是另一个随机变量,使得其分布取决于 X 是具有参数的二项式分布 nX. 然后,条件分布 X 给定 Y = y 是带有参数的Beta分布 $1+y$$ 1 + n-y $.

这个主张构成了我们在 介绍本讲座,以激励Beta发行版。 请记住,在 n 具有成功概率的随机实验的独立重复 X 是具有参数的二项式随机变量 Xn. 根据上面的命题,当成功的概率 X 是先验未知数,并且所有可能的值 X 被认为具有相同的可能性(它们具有均匀的分布), 的结果 n 实验导致我们修改分配给 X, 这次修订的结果是Beta版本。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

生产工厂生产具有一定可能性的物品 X 有缺陷。工厂经理不知道 X, 但根据以往的经验,她希望这个可能性等于 $4%$. 此外,她量化了自己关于 X 通过附加一个 标准 偏差$2%$ 给她 $4%$ 估计。与统计专家协商后,经理决定 使用Beta分布来建模她的不确定性 X. 她应该如何设置分布的两个参数才能匹配 她关于期望值和标准差的先验 X?

我们知道Beta的期望值 带参数的随机变量 $ lpha $$ eta $[eq41]而 其方差 是[eq42]的 需要以这种方式设置两个参数 那[eq43]这个 通过找到以下两个方程组的解来完成 成两半 未知数:[eq44]哪里 为了符号上的方便,我们设置了 $亩= 0.04 $$ sigma ^ {2} = 0.0004 $. 第一个方程式 给[eq45]要么[eq46]通过 将其代入第二个方程,我们 得到[eq47]要么[eq48]然后 我们将左侧的分子和分母除以 $ lpha ^ {2} $:[eq49]通过 计算产品,我们 得到[eq50]通过 以双方的对立,我们 有[eq51]通过 双方乘以 $ mu ^ {3} $, 我们 获得[eq52]从而 的价值 $ lpha $[eq53]和 的价值 $ eta $[eq54]通过 将数值插入两个公式,我们 获得[eq55]

练习2

选择Beta分布的参数以代表她之后 关于产生有缺陷的物品的可能性的先验(请参见 练习),工厂经理现在想通过观察新的来更新其先验 数据。她决定检查100件产品的生产批次,结果发现 该批次中的3个项目有缺陷。她应该如何更改参数 贝塔发行版的版本,以便将此新信息考虑在内?

在项目是 彼此独立生产,检查结果是 带参数的二项式随机变量 $ n = 100 $$ p = X $. 但是根据二项式随机结果更新Beta分布 结果,变量提供了另一个Beta分布。而且,两个 参数 $ lpha _ {1} $$ eta _ {1} $ 贝塔版发行版的数量 是[eq56]

练习3

更新Beta分布的参数后(请参见 练习),工厂经理希望再次计算期望值, 发现有缺陷物品的概率的标准差。你可以吗 帮助她?

我们只需要使用公式 期望值和Beta的方差 分配:[eq57]和 插入我们发现的新值 $ lpha $$ eta $, 那 是的[eq58]的 结果 是[eq59]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "贝塔分布", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/beta-distribution.

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