在Statlect上搜索概率和统计术语
统计列克特
指数 > 概率分布

二项分布

通过 博士

考虑具有两个可能结果的实验​​：成功或失败 失败。假设实验重复了几次并且重复了 彼此独立。实验总数 结果证明是成功是 随机 变量 其分布称为二项分布。的 分布有两个参数：数量 n 实验的重复和 可能性 p 单个实验的成功。

二项式分布可以看作是相互独立的伯努利的总和 如果实验成功，则随机变量的值为1，并且 否则为0。二项式和 贝努利 分布将是 在本讲座的其余部分将详细说明，并将用于 证明了二项分布的几个性质。

目录

目录

  1. 定义

  2. 与伯努利分布的关系

  3. 期望值

  4. 方差

  5. 瞬间产生功能

  6. 特征功能

  7. 分配功能

  8. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

定义

二项式分布的特征如下。

定义 让 X 成为 离散随机 变量。让 $ nin U {2115} $ 和 [eq1]. 让 支持 的 X 是[eq2]我们 比如说 X 有一个 二项分布 带参数 n 和 p 如果它是 概率质量 功能 是[eq3]哪里 [eq4] 是一个 二项式系数.

以下是证明 [eq5] 是一个 合法概率质量函数.

证明

非负性很明显。我们需要证明 的总和 [eq6] 在其支持等于 1. 这证明为 如下：[eq7]哪里 我们使用了通常的公式 二项式展开: [eq8]

与伯努利分布的关系

二项式分布与伯努利分布密切相关。 以下命题说明了如何。

主张 如果是随机变量 X 具有参数的二项式分布 n 和 p, 与 $n=1$, 然后 X 具有参数的伯努利分布 p.

证明

的概率质量函数 X 是[eq9]但[eq10]和[eq11]因此， 可以写出概率质量函数 如 [eq12]哪一个 是伯努利随机数的概率质量函数 变量。

主张 如果是随机变量 X 具有参数的二项式分布 n 和 p, 然后 X 是一个总和 n 共同独立 伯努利随机 带参数的变量 p.

证明

我们通过归纳证明。所以，我们必须 证明这是真的 $n=1$ 对于一般 n, 鉴于这是真的 $n-1$. 对于 $n=1$, 上面的命题已经证明了 参数 $n=1$ 是 贝努利分布）。现在，假设该主张对于通用 $n-1$. 我们必须验证 $ Y_ {n} $ 是二项式随机变量， 哪里[eq13]和 X_1, X_2, $ ldots $, X_n 是独立的伯努利随机变量。由于该要求对 $n-1$, 这等于验证 那[eq14]是 二项式随机变量，其中 $ Y_ {n-1} $ 具有参数的二项式分布 $n-1$ 和 $ p。$使用 的 卷积公式， 我们可以 计算的概率质量函数 $ Y_ {n} $: [eq15]如果 [eq16], 然后[eq17]哪里 最后的平等是 递归公式 用于二项式系数。如果 $ y_ {n} = 0 $, 然后[eq18]最后， 如果 $ y_ {n} = n $, 然后[eq19]因此， 对于 R_ {Y_ {n}} $中的$ y_ {n} 我们 有[eq20]和：[eq21]哪一个 是具有参数的二项式随机变量的概率质量函数 n 和 p. 这样就完成了证明。

期望值

的 期望值 二项式随机变量 X 是[eq22]

证明

可以导出为 如下：[eq23]

方差

的 方差 二项式随机变量 X 是[eq24]

证明

代表 X 作为共同独立的伯努利随机变量的总和，我们 得到[eq25]

瞬间产生功能

的 力矩产生功能 二项式的 随机变量 X 为任何定义 R中的t:[eq26]

证明

这证明为 如下：[eq27]以来 对于任何一个变量，存在伯努利随机变量的矩生成函数 R中的t, 二项式随机变量的矩生成函数也存在于 任何 R中的t.

特征功能

的 特征函数 二项式随机 变量 X 是[eq28]

证明

同样，我们将使用以下事实： 带参数的二项式随机变量 n 是 的总和 n 独立伯努利随机 变量：[eq29]

分配功能

的 分配功能 二项式随机变量 X 是[eq30]哪里 [eq31] 是 地板 x, 即最大整数不大于 x.

证明

对于 $x<0$, [eq32], 因为 X 不能小于 0. 对于 $x>n$, [eq33], 因为 X 始终小于或等于 n. 对于 [eq34]:[eq35]

的价值 [eq36] 通常由计算机算法来计算。例如，MATLAB命令

binocdf(x,n,p)

返回该点的分布函数的值 x 当分布的参数是 n 和 p.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设您独立掷硬币 $4$ 时间和每次抛掷的结果可以是正面的（概率 $ frac {1} {2} $) 或尾巴（也有可能 $ frac {1} {2} $）。 准确获得的概率是多少 $2$ 尾巴？

解

表示为 X 结果是尾巴的次数（ $4$ 扔）。 X 具有参数的二项式分布 $n=4$ 和 $ frac {1} {2} $. 准确获得的概率 $2$ 尾部可以从的概率质量函数计算 X 如下： [eq37]

练习2

假设您独立投掷飞镖 $10$ 次。每次投掷飞镖时，击中目标的概率为 $ frac {3} {4} $. 达到目标的概率小于 $5$ 时间（在 $10$ 总共扔镖了吗？

解

表示为 X 您击中目标的次数。 X 具有参数的二项式分布 $n=10$ 和 $ frac {3} {4} $. 击中目标的概率小于 $5$ 时间可以从的分布函数计算 X 如 如下：[eq38]和 的价值 [eq39] 可以使用计算机算法（例如MATLAB）进行计算 命令[eq40]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "二项分布", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/binomial-distribution.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。

精选页面
探索
主要部分
关于
词汇表条目
分享