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二项分布

通过 博士

考虑具有两个可能结果的实验​​:成功或失败 失败。假设实验重复了几次并且重复了 彼此独立。实验总数 结果证明是成功是 随机 变量 其分布称为二项分布。的 分布有两个参数:数量 n 实验的重复和 可能性 p 单个实验的成功。

二项式分布可以看作是相互独立的伯努利的总和 如果实验成功,则随机变量的值为1,并且 否则为0。二项式和 贝努利 分布将是 在本讲座的其余部分将详细说明,并将用于 证明了二项分布的几个性质。

目录

定义

二项式分布的特征如下。

定义X 成为 离散随机 变量。让 $ nin U {2115} $[eq1]. 让 支持X[eq2]我们 比如说 X 有一个 二项分布 带参数 np 如果它是 概率质量 功能[eq3]哪里 [eq4] 是一个 二项式系数.

以下是证明 [eq5] 是一个 合法概率质量函数.

证明

非负性很明显。我们需要证明 的总和 [eq6] 在其支持等于 1. 这证明为 如下:[eq7]哪里 我们使用了通常的公式 二项式展开: [eq8]

与伯努利分布的关系

二项式分布与伯努利分布密切相关。 以下命题说明了如何。

主张 如果是随机变量 X 具有参数的二项式分布 np, 与 $n=1$, 然后 X 具有参数的伯努利分布 p.

证明

的概率质量函数 X[eq9][eq10][eq11]因此, 可以写出概率质量函数 如 [eq12]哪一个 是伯努利随机数的概率质量函数 变量。

主张 如果是随机变量 X 具有参数的二项式分布 np, 然后 X 是一个总和 n 共同独立 伯努利随机 带参数的变量 p.

证明

我们通过归纳证明。所以,我们必须 证明这是真的 $n=1$ 对于一般 n, 鉴于这是真的 $n-1$. 对于 $n=1$, 上面的命题已经证明了 参数 $n=1$ 是 贝努利分布)。现在,假设该主张对于通用 $n-1$. 我们必须验证 $ Y_ {n} $ 是二项式随机变量, 哪里[eq13]X_1, X_2, $ ldots $, X_n 是独立的伯努利随机变量。由于该要求对 $n-1$, 这等于验证 那[eq14]是 二项式随机变量,其中 $ Y_ {n-1} $ 具有参数的二项式分布 $n-1$$ p。$使用 的 卷积公式, 我们可以 计算的概率质量函数 $ Y_ {n} $: [eq15]如果 [eq16], 然后[eq17]哪里 最后的平等是 递归公式 用于二项式系数。如果 $ y_ {n} = 0 $, 然后[eq18]最后, 如果 $ y_ {n} = n $, 然后[eq19]因此, 对于 R_ {Y_ {n}} $中的$ y_ {n} 我们 有[eq20]和:[eq21]哪一个 是具有参数的二项式随机变量的概率质量函数 np. 这样就完成了证明。

期望值

期望值 二项式随机变量 X[eq22]

证明

可以导出为 如下:[eq23]

方差

方差 二项式随机变量 X[eq24]

证明

代表 X 作为共同独立的伯努利随机变量的总和,我们 得到[eq25]

瞬间产生功能

力矩产生功能 二项式的 随机变量 X 为任何定义 R中的t:[eq26]

证明

这证明为 如下:[eq27]以来 对于任何一个变量,存在伯努利随机变量的矩生成函数 R中的t, 二项式随机变量的矩生成函数也存在于 任何 R中的t.

特征功能

特征函数 二项式随机 变量 X[eq28]

证明

同样,我们将使用以下事实: 带参数的二项式随机变量 n 是 的总和 n 独立伯努利随机 变量:[eq29]

分配功能

分配功能 二项式随机变量 X[eq30]哪里 [eq31] 是 地板 x, 即最大整数不大于 x.

证明

对于 $x<0$, [eq32], 因为 X 不能小于 0. 对于 $x>n$, [eq33], 因为 X 始终小于或等于 n. 对于 [eq34]:[eq35]

的价值 [eq36] 通常由计算机算法来计算。例如,MATLAB命令

binocdf(x,n,p)

返回该点的分布函数的值 x 当分布的参数是 np.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设您独立掷硬币 $4$ 时间和每次抛掷的结果可以是正面的(概率 $ frac {1} {2} $) 或尾巴(也有可能 $ frac {1} {2} $)。 准确获得的概率是多少 $2$ 尾巴?

表示为 X 结果是尾巴的次数( $4$ 扔)。 X 具有参数的二项式分布 $n=4$$ frac {1} {2} $. 准确获得的概率 $2$ 尾部可以从的概率质量函数计算 X 如下: [eq37]

练习2

假设您独立投掷飞镖 $10$ 次。每次投掷飞镖时,击中目标的概率为 $ frac {3} {4} $. 达到目标的概率小于 $5$ 时间(在 $10$ 总共扔镖了吗?

表示为 X 您击中目标的次数。 X 具有参数的二项式分布 $n=10$$ frac {3} {4} $. 击中目标的概率小于 $5$ 时间可以从的分布函数计算 X 如 如下:[eq38]和 的价值 [eq39] 可以使用计算机算法(例如MATLAB)进行计算 命令[eq40]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "二项分布", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/binomial-distribution.

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