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二项分布

经过 ，博士学位

考虑一个有两种可能结果的实验​​：成功或 失败。假设实验重复几次并重复 彼此独立。实验总数 结果结果是成功是一个 random variable 谁的分布称为二项式分布。这 分布有两个参数：数字 n 实验的重复和 probability p 个人实验的成功。

二项式分布可以被视为相互独立的伯努利的总和 在实验成功的情况下取值1的随机变量 否则值为0。二项式和型号之间的连接 Bernoulli 分配将是 在这次讲座的剩余时间内详细说明，将用于 证明了二项分布的几个性质。

目录

目录

  1. 定义

  2. 与Bernoulli分配的关系

  3. 期望值

  4. 方差

  5. 时刻产生功能

  6. 特征功能

  7. 分配功能

  8. 解决练习

    1. 练习1

    2. 练习2

定义

二项式分布的特征如下。

定义 Let X be a discrete random variable。让 $ nin u {2115} $ and [eq1]. Let the support of X be[eq2]我们 say that X has a 二项分布 和 parameters n and p if its 可能性 mass function is[eq3]在哪里 [eq4] is a binomial coefficient.

以下是证明 [eq5] is a 合法概率质量功能.

证明

非消极性是显而易见的。我们需要证明 that the sum of [eq6] 超过其支持等于 1. This is proved as follows:[eq7]在哪里 我们使用了通常的公式 binomial expansions: [eq8]

与Bernoulli分配的关系

二项式分布与Bernoulli分布密切相关。 以下命题展示了如何。

主张 If a random variable X 具有与参数的二项分布 n and p, with $n=1$, then X 具有参数的Bernoulli分发 p.

证明

概率质量功能 X is[eq9]但[eq10]和[eq11]所以， 可以写入概率质量功能 as[eq12]哪一个 是伯努利随机的概率质量功能 variable.

主张 如果是随机变量 X 具有与参数的二项分布 n and p, then X is a sum of n jointly independent 伯努利 random 具有参数的变量 p.

证明

我们通过诱导证明它。所以，我们必须 证明它是真的 $n=1$ and for a generic n, 鉴于它是真的 $n-1$. For $n=1$, 它已被证明在上面的命题（二项份分布 parameter $n=1$ is 伯努利分配）。现在，假设索赔是真实的，即通用 $n-1$. 我们必须验证这一点 $ y_ {n} $ 是一个二项式随机变量， where[eq13]和 X_1, X_2, $ ldots $, X_N. 是独立的Bernoulli随机变量。由于索赔是真的 $n-1$, 这意味着验证 that[eq14]是 一个二项式随机变量，在哪里 $ y_ {n-1} $ 具有与参数的二项分布 $n-1$ and $ p。$使用 the convolution formula， 我们可以 计算概率质量功能 $ y_ {n} $: [eq15]如果 [eq16], then[eq17]在哪里 最后的平等是 recursive formula 对于二重传系数。如果 $ y_ {n} = 0 $, then[eq18]最后， if $ y_ {n} = n $, then[eq19]所以， for $ y_ {n}在r_ {y_ {n}} $ we have[eq20]和：[eq21]哪一个 是与参数的二项式随机变量的概率质量功能 n and p. 这完成了证明。

期望值

The expected value 一个二项式随机变量 X is[eq22]

证明

它可以衍生成 follows:[eq23]

方差

The variance 一个二项式随机变量 X is[eq24]

证明

代表 X 作为共同独立的伯努利随机变量的总和，我们 get[eq25]

时刻产生功能

The 时刻产生功能 的 a binomial random variable X is defined for any T在R.:[eq26]

证明

这被证明是如此 follows:[eq27]自从 伯努利随机变量的瞬间产生函数存在 T在R., 此外，存在二项式随机变量的时刻产生函数 any T在R..

特征功能

The 特征功能 一个二重子 random variable X is[eq28]

证明

再次，我们将使用这个事实 与参数的二项式随机变量 n is a sum of n 独立伯努利随机 variables:[eq29]

分配功能

The 分配功能 一个二项式随机变量 X is[eq30]在哪里 [eq31] is the floor of x, 即，最大的整数不大于 x.

证明

为了 $x<0$, [eq32], because X 不能小于 0. For $x>n$, [eq33], because X 总是小于或等于 n. For [eq34]:[eq35]

Values of [eq36] 通常由计算机算法计算。例如，matlab命令

binocdf(x,n,p)

返回点处的分布函数的值 x 当分布的参数是 n 和 p.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

假设您独立翻转硬币 $4$ 次数和每个折腾的结果都可以是头部（具有概率 $ frac {1} {2} $) 或尾巴（也有概率 $ frac {1} {2} $）。 什么是获得完全值的可能性 $2$ tails?

解决方案

表示 X 结果是尾部的次数（从 $4$ tosses). X 具有与参数的二项分布 $n=4$ and $ frac {1} {2} $. 究竟获得的概率 $2$ 可以从概率质量功能计算尾部 X as follows: [eq37]

练习2

假设你独立地扔了一只飞镖 $10$ 时代。每次抛掷飞镖时，击中目标的可能性都是 $ frac {3} {4} $. 击中目标的概率少于 $5$ times (out of the $10$ 总掷骰子）？

解决方案

表示 X 您达到目标的次数。 X 具有与参数的二项分布 $n=10$ and $ frac {3} {4} $. 击中目标的概率小于 $5$ 可以从分发功能计算的时间 X as follows:[eq38]和 the value of [eq39] 可以用计算机算法计算，例如使用MATLAB command[eq40]

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "二项分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/binomial-distribution.

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