考虑具有两个可能结果的实验:成功或失败
失败。假设实验重复了几次并且重复了
彼此独立。实验总数
结果证明是成功是 随机
变量 其分布称为二项分布。的
分布有两个参数:数量
实验的重复和
可能性
单个实验的成功。
二项式分布可以看作是相互独立的伯努利的总和 如果实验成功,则随机变量的值为1,并且 否则为0。二项式和 贝努利 分布将是 在本讲座的其余部分将详细说明,并将用于 证明了二项分布的几个性质。
二项式分布的特征如下。
以下是证明
是一个 合法概率质量函数.
非负性很明显。我们需要证明
的总和
在其支持等于
.
这证明为
如下:
哪里
我们使用了通常的公式
二项式展开:
二项式分布与伯努利分布密切相关。 以下命题说明了如何。
主张
如果是随机变量
具有参数的二项式分布
和
,
与
,
然后
具有参数的伯努利分布
.
的概率质量函数
是
但
和
因此,
可以写出概率质量函数
如
哪一个
是伯努利随机数的概率质量函数
变量。
主张
如果是随机变量
具有参数的二项式分布
和
,
然后
是一个总和
共同独立 伯努利随机
带参数的变量
.
我们通过归纳证明。所以,我们必须
证明这是真的
对于一般
,
鉴于这是真的
.
对于
,
上面的命题已经证明了
参数
是
贝努利分布)。现在,假设该主张对于通用
.
我们必须验证
是二项式随机变量,
哪里
和
,
,
,
是独立的伯努利随机变量。由于该要求对
,
这等于验证
那
是
二项式随机变量,其中
具有参数的二项式分布
和
使用
的 卷积公式, 我们可以
计算的概率质量函数
:
如果
,
然后
哪里
最后的平等是 递归公式
用于二项式系数。如果
,
然后
最后,
如果
,
然后
因此,
对于
我们
有
和:
哪一个
是具有参数的二项式随机变量的概率质量函数
和
.
这样就完成了证明。
的 期望值 二项式随机变量
是
可以导出为
如下:
的 方差 二项式随机变量
是
代表
作为共同独立的伯努利随机变量的总和,我们
得到
的 力矩产生功能 二项式的
随机变量
为任何定义
:
这证明为
如下:以来
对于任何一个变量,存在伯努利随机变量的矩生成函数
,
二项式随机变量的矩生成函数也存在于
任何
.
的 特征函数 二项式随机
变量
是
同样,我们将使用以下事实:
带参数的二项式随机变量
是
的总和
独立伯努利随机
变量:
的 分配功能
二项式随机变量
是
哪里
是
地板
,
即最大整数不大于
.
对于
,
,
因为
不能小于
.
对于
,
,
因为
始终小于或等于
.
对于
:
的价值
通常由计算机算法来计算。例如,MATLAB命令
binocdf(x,n,p)
返回该点的分布函数的值
x
当分布的参数是
n
和 p
.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
假设您独立掷硬币
时间和每次抛掷的结果可以是正面的(概率
)
或尾巴(也有可能
)。
准确获得的概率是多少
尾巴?
表示为
结果是尾巴的次数(
扔)。
具有参数的二项式分布
和
.
准确获得的概率
尾部可以从的概率质量函数计算
如下:
假设您独立投掷飞镖
次。每次投掷飞镖时,击中目标的概率为
.
达到目标的概率小于
时间(在
总共扔镖了吗?
表示为
您击中目标的次数。
具有参数的二项式分布
和
.
击中目标的概率小于
时间可以从的分布函数计算
如
如下:
和
的价值
可以使用计算机算法(例如MATLAB)进行计算
命令
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "二项分布", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/binomial-distribution.