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二项分布

经过 ,博士学位

考虑一个有两种可能结果的实验​​:成功或 失败。假设实验重复几次并重复 彼此独立。实验总数 结果结果是成功是一个 random variable 谁的分布称为二项式分布。这 分布有两个参数:数字 n 实验的重复和 probability p 个人实验的成功。

二项式分布可以被视为相互独立的伯努利的总和 在实验成功的情况下取值1的随机变量 否则值为0。二项式和型号之间的连接 Bernoulli 分配将是 在这次讲座的剩余时间内详细说明,将用于 证明了二项分布的几个性质。

目录

定义

二项式分布的特征如下。

定义 Let X be a discrete random variable。让 $ nin u {2115} $ and [eq1]. Let the support of X be[eq2]我们 say that X has a 二项分布 和 parameters n and p if its 可能性 mass function is[eq3]在哪里 [eq4] is a binomial coefficient.

以下是证明 [eq5] is a 合法概率质量功能.

证明

非消极性是显而易见的。我们需要证明 that the sum of [eq6] 超过其支持等于 1. This is proved as follows:[eq7]在哪里 我们使用了通常的公式 binomial expansions: [eq8]

与Bernoulli分配的关系

二项式分布与Bernoulli分布密切相关。 以下命题展示了如何。

主张 If a random variable X 具有与参数的二项分布 n and p, with $n=1$, then X 具有参数的Bernoulli分发 p.

证明

概率质量功能 X is[eq9][eq10][eq11]所以, 可以写入概率质量功能 as[eq12]哪一个 是伯努利随机的概率质量功能 variable.

主张 如果是随机变量 X 具有与参数的二项分布 n and p, then X is a sum of n jointly independent 伯努利 random 具有参数的变量 p.

证明

我们通过诱导证明它。所以,我们必须 证明它是真的 $n=1$ and for a generic n, 鉴于它是真的 $n-1$. For $n=1$, 它已被证明在上面的命题(二项份分布 parameter $n=1$ is 伯努利分配)。现在,假设索赔是真实的,即通用 $n-1$. 我们必须验证这一点 $ y_ {n} $ 是一个二项式随机变量, where[eq13]X_1, X_2, $ ldots $, X_N. 是独立的Bernoulli随机变量。由于索赔是真的 $n-1$, 这意味着验证 that[eq14]是 一个二项式随机变量,在哪里 $ y_ {n-1} $ 具有与参数的二项分布 $n-1$ and $ p。$使用 the convolution formula, 我们可以 计算概率质量功能 $ y_ {n} $: [eq15]如果 [eq16], then[eq17]在哪里 最后的平等是 recursive formula 对于二重传系数。如果 $ y_ {n} = 0 $, then[eq18]最后, if $ y_ {n} = n $, then[eq19]所以, for $ y_ {n}在r_ {y_ {n}} $ we have[eq20]和:[eq21]哪一个 是与参数的二项式随机变量的概率质量功能 n and p. 这完成了证明。

期望值

The expected value 一个二项式随机变量 X is[eq22]

证明

它可以衍生成 follows:[eq23]

方差

The variance 一个二项式随机变量 X is[eq24]

证明

代表 X 作为共同独立的伯努利随机变量的总和,我们 get[eq25]

时刻产生功能

The 时刻产生功能 的 a binomial random variable X is defined for any T在R.:[eq26]

证明

这被证明是如此 follows:[eq27]自从 伯努利随机变量的瞬间产生函数存在 T在R., 此外,存在二项式随机变量的时刻产生函数 any T在R..

特征功能

The 特征功能 一个二重子 random variable X is[eq28]

证明

再次,我们将使用这个事实 与参数的二项式随机变量 n is a sum of n 独立伯努利随机 variables:[eq29]

分配功能

The 分配功能 一个二项式随机变量 X is[eq30]在哪里 [eq31] is the floor of x, 即,最大的整数不大于 x.

证明

为了 $x<0$, [eq32], because X 不能小于 0. For $x>n$, [eq33], because X 总是小于或等于 n. For [eq34]:[eq35]

Values of [eq36] 通常由计算机算法计算。例如,matlab命令

binocdf(x,n,p)

返回点处的分布函数的值 x 当分布的参数是 np.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

假设您独立翻转硬币 $4$ 次数和每个折腾的结果都可以是头部(具有概率 $ frac {1} {2} $) 或尾巴(也有概率 $ frac {1} {2} $)。 什么是获得完全值的可能性 $2$ tails?

解决方案

表示 X 结果是尾部的次数(从 $4$ tosses). X 具有与参数的二项分布 $n=4$ and $ frac {1} {2} $. 究竟获得的概率 $2$ 可以从概率质量功能计算尾部 X as follows: [eq37]

练习2

假设你独立地扔了一只飞镖 $10$ 时代。每次抛掷飞镖时,击中目标的可能性都是 $ frac {3} {4} $. 击中目标的概率少于 $5$ times (out of the $10$ 总掷骰子)?

解决方案

表示 X 您达到目标的次数。 X 具有与参数的二项分布 $n=10$ and $ frac {3} {4} $. 击中目标的概率小于 $5$ 可以从分发功能计算的时间 X as follows:[eq38]和 the value of [eq39] 可以用计算机算法计算,例如使用MATLAB command[eq40]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "二项分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/binomial-distribution.

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