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卡方分布

通过 博士

随机变量 X 如果可以将其写为 方格:[eq1]哪里 $ Y_ {1} $, ..., $ Y_ {n} $ 相互独立 标准正常随机 变数.

卡方分布的重要性源于以下事实: 这种情况在统计中经常遇到,尤其是在 方差估计和假设检验。

目录

定义

卡方随机变量的特征如下。

定义X 成为 连续 随机变量。让它 支持 被设置 正实 数字:[eq2]$ nin U {2115} $. 我们说 X 有一个 卡方分布n 自由度当且仅当其 概率密度 功能[eq3]哪里 $ c $ 是一个 不变:[eq4][eq5] 是个 伽玛功能.

以下符号通常用于表示随机变量 X 具有卡方分布 n 度数 自由:[eq6]哪里 符号 $ symbol {126} $ 表示“分发为”。

为了更好地了解卡方分布,您可以看一下 密度图.

期望值

期望值 卡方随机数 变量 X[eq7]

证明

它 可以导出为 如下:[eq8]

方差

方差 卡方随机变量 X[eq9]

证明

它 可以归功于平常 方差公式 ([eq10]):[eq11]

瞬间产生功能

力矩产生功能 卡方的 随机变量 X 为任何定义 $ frac {1} {2} $:[eq12]

证明

使用 力矩产生函数的定义,我们 获得[eq13]的 上面的积分是定义明确的,只有当 $ frac {1} {2} -t>0$, 即,何时 $ frac {1} {2} $. 因此,存在卡方随机变量的矩生成函数 对于任何 $ frac {1} {2} $.

特征功能

特征函数 卡方的 随机变量 X[eq14]

证明

使用 特征函数的定义,我们 获得:[eq15]

分配功能

分配功能 卡方随机变量 是[eq16]哪里 的 功能[eq17]是 叫 下不完全伽玛函数 并且是 通常通过专门的计算机算法来计算。

证明

这证明为 如下:[eq18]

通常,可以求助于直接计算的计算机算法 的价值 [eq19]. 例如,MATLAB命令

chi2cdf(x,n)

returns 的 value at 的 point x 的 的 distribution 卡方随机变量的函数 n 自由程度。

过去,当计算机不普及时,人们通常会抬头看。 的价值 [eq20] 在卡方分布表中 [eq21] 列出了以下几个值 xn (请参阅标题为“ 卡方分布 价值观)。

更多细节

在以下小节中,您可以找到有关卡方的更多详细信息 分配。

独立总和 卡方随机变量是卡方随机变量

X_1 是一个卡方随机变量 $ n_ {1} $ 自由度和 X_2 另一个卡方随机变量 $ n_ {2} $ 自由程度。如果 X_1X_2 独立,则它们的总和具有卡方 与分布 $ n_ {1} + n_ {2} $ 度数 自由:[eq22]这个 可以概括为两个以上卡方随机变量的总和, 只要他们是 相互 独立:[eq23]

证明

这很容易证明 使用力矩生成功能。力矩产生函数 X_i[eq24]定义[eq25]的 相互独立的随机变量之和的矩生成函数 只是他们瞬间产生的产物 职能:[eq26]哪里 [eq27]因此, 的力矩产生函数 X 是瞬间产生 n 自由度,因此, X 是具有以下项的卡方随机变量: n 自由程度。

标准正态随机变量的平方为 卡方随机变量

Z 成为标准的正常随机变量,让 X 是它的 广场:[eq28]然后 X 是具有1个自由度的卡方随机变量。

证明

对于 $ xgeq 0 $, 的分布函数 X[eq29]哪里 [eq30] 是标准正态随机数的概率密度函数 变量:[eq31]对于 $x<0$, [eq32] 因为 X, 是一个正方形,不能为负。使用 莱布尼兹积分 规则 密度函数是导数的导数 分布函数,概率密度函数 X, 表示为 [eq33], 如下获得 $ xgeq 0 $):[eq34]对于 $x<0$, 琐碎地 [eq35]. 作为一个 后果,[eq36]因此, [eq37] 是概率密度1 自由度。

独立标准法线的平方和 随机变量是卡方随机变量

结合以上两个事实,一个简单地得出平方和 的 n 独立标准正态随机变量是卡方随机变量 与 n 自由程度。

密度图

本部分显示了一些卡方随机数的密度图 变量。这些图帮助我们了解卡方的形状 分布通过更改自由度参数来更改。

情节1-增加自由度

下图包含两个密度函数的图形:

垂直的细线表示两种分布的均值。通过 增加自由度的数量,我们增加了 分布,以及较大值的概率密度。

卡方密度图1

情节2-增加自由度

下图还包含两个密度函数的图形:

如上图所示,分布的均值随度数而增加 自由度增加。

卡方密度图2

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X 是一个卡方随机变量 $3$ 自由程度。计算以下 可能性:[eq38]

首先,我们需要表达 就分布函数而言,上述概率 X:[eq39]哪里 的 价值观[eq40]能够 用计算机算法计算或在卡方分布中找到 表(请参阅讲座 卡方分布 价值观)。

练习2

X_1X_2 是两个具有均值的独立正态随机变量 $ mu = 0 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 16 $. 计算以下 可能性:[eq41]

首先,两个变量 X_1X_2 可以写 如 [eq42]哪里 $ Z_ {1} $$ Z_ {2} $ 是两个标准的正常随机变量。因此,我们可以 写[eq43]但 总和 [eq44] 具有卡方分布 $2$ 自由程度。 因此,[eq45]哪里 [eq46] 是卡方随机变量的分布函数 Y$2$ 自由度,在该点评估 $ frac {1} {2} $. 使用任何计算机软件包进行统计,我们都可以 找[eq47]

练习3

假设随机变量 X 具有卡方分布 $5$ 自由程度。定义随机变量 Y 如 如下:[eq48]计算 的期望值 Y.

的期望值 Y 可以使用 X:[eq49]现在, 通过利用期望值的线性,我们 获得[eq50]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "卡方分布", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/chi-square-distribution.

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