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卡方分布

通过 博士

随机变量 X 如果可以将其写为 方格：[eq1]哪里 $ Y_ {1} $, ...， $ Y_ {n} $ 相互独立 标准正常随机 变数.

卡方分布的重要性源于以下事实： 这种情况在统计中经常遇到，尤其是在 方差估计和假设检验。

目录

目录

  1. 定义

  2. 期望值

  3. 方差

  4. 瞬间产生功能

  5. 特征功能

  6. 分配功能

  7. 更多细节

    1. 独立卡方随机变量的总和是卡方随机变量

    2. 标准正态随机变量的平方是卡方随机变量

    3. 独立标准正态随机变量的平方和是卡方随机变量

  8. 密度图

    1. 情节1-增加自由度

    2. 情节2-增加自由度

  9. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

定义

卡方随机变量的特征如下。

定义 让 X 成为 连续 随机变量。让它 支持 被设置 正实 数字：[eq2]让 $ nin U {2115} $. 我们说 X 有一个 卡方分布 与 n 自由度当且仅当其 概率密度 功能 是[eq3]哪里 $ c $ 是一个 不变：[eq4]和 [eq5] 是个 伽玛功能.

以下符号通常用于表示随机变量 X 具有卡方分布 n 度数 自由：[eq6]哪里 符号 $ symbol {126} $ 表示“分发为”。

为了更好地了解卡方分布，您可以看一下 密度图.

期望值

的 期望值 卡方随机数 变量 X 是[eq7]

证明

它 可以导出为 如下：[eq8]

方差

的 方差 卡方随机变量 X 是[eq9]

证明

它 可以归功于平常 方差公式 ([eq10]）：[eq11]

瞬间产生功能

的 力矩产生功能 卡方的 随机变量 X 为任何定义 $ frac {1} {2} $:[eq12]

证明

使用 力矩产生函数的定义，我们 获得[eq13]的 上面的积分是定义明确的，只有当 $ frac {1} {2} -t>0$, 即，何时 $ frac {1} {2} $. 因此，存在卡方随机变量的矩生成函数 对于任何 $ frac {1} {2} $.

特征功能

的 特征函数 卡方的 随机变量 X 是[eq14]

证明

使用 特征函数的定义，我们 获得：[eq15]

分配功能

的 分配功能 卡方随机变量 是[eq16]哪里 的 功能[eq17]是 叫 下不完全伽玛函数 并且是 通常通过专门的计算机算法来计算。

证明

这证明为 如下：[eq18]

通常，可以求助于直接计算的计算机算法 的价值 [eq19]. 例如，MATLAB命令

chi2cdf(x,n)

returns 的 value at 的 point x 的 的 distribution 卡方随机变量的函数 n 自由程度。

过去，当计算机不普及时，人们通常会抬头看。 的价值 [eq20] 在卡方分布表中 [eq21] 列出了以下几个值 x 和 n （请参阅标题为“ 卡方分布 价值观）。

更多细节

在以下小节中，您可以找到有关卡方的更多详细信息 分配。

独立总和 卡方随机变量是卡方随机变量

让 X_1 是一个卡方随机变量 $ n_ {1} $ 自由度和 X_2 另一个卡方随机变量 $ n_ {2} $ 自由程度。如果 X_1 和 X_2 是 独立，则它们的总和具有卡方 与分布 $ n_ {1} + n_ {2} $ 度数 自由：[eq22]这个 可以概括为两个以上卡方随机变量的总和， 只要他们是 相互 独立:[eq23]

证明

这很容易证明 使用力矩生成功能。力矩产生函数 X_i 是[eq24]定义[eq25]的 相互独立的随机变量之和的矩生成函数 只是他们瞬间产生的产物 职能：[eq26]哪里 [eq27]因此， 的力矩产生函数 X 是瞬间产生 n 自由度，因此， X 是具有以下项的卡方随机变量： n 自由程度。

标准正态随机变量的平方为 卡方随机变量

让 Z 成为标准的正常随机变量，让 X 是它的 广场：[eq28]然后 X 是具有1个自由度的卡方随机变量。

证明

对于 $ xgeq 0 $, 的分布函数 X 是[eq29]哪里 [eq30] 是标准正态随机数的概率密度函数 变量：[eq31]对于 $x<0$, [eq32] 因为 X, 是一个正方形，不能为负。使用 莱布尼兹积分 规则 密度函数是导数的导数 分布函数，概率密度函数 X, 表示为 [eq33], 如下获得 $ xgeq 0 $）：[eq34]对于 $x<0$, 琐碎地 [eq35]. 作为一个 后果，[eq36]因此， [eq37] 是概率密度1 自由度。

独立标准法线的平方和 随机变量是卡方随机变量

结合以上两个事实，一个简单地得出平方和 的 n 独立标准正态随机变量是卡方随机变量 与 n 自由程度。

密度图

本部分显示了一些卡方随机数的密度图 变量。这些图帮助我们了解卡方的形状 分布通过更改自由度参数来更改。

情节1-增加自由度

下图包含两个密度函数的图形：

垂直的细线表示两种分布的均值。通过 增加自由度的数量，我们增加了 分布，以及较大值的概率密度。

卡方密度图1

情节2-增加自由度

下图还包含两个密度函数的图形：

如上图所示，分布的均值随度数而增加 自由度增加。

卡方密度图2

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 X 是一个卡方随机变量 $3$ 自由程度。计算以下 可能性：[eq38]

解

首先，我们需要表达 就分布函数而言，上述概率 X:[eq39]哪里 的 价值观[eq40]能够 用计算机算法计算或在卡方分布中找到 表（请参阅讲座 卡方分布 价值观）。

练习2

让 X_1 和 X_2 是两个具有均值的独立正态随机变量 $ mu = 0 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 16 $. 计算以下 可能性：[eq41]

解

首先，两个变量 X_1 和 X_2 可以写 如 [eq42]哪里 $ Z_ {1} $ 和 $ Z_ {2} $ 是两个标准的正常随机变量。因此，我们可以 写[eq43]但 总和 [eq44] 具有卡方分布 $2$ 自由程度。 因此，[eq45]哪里 [eq46] 是卡方随机变量的分布函数 Y 与 $2$ 自由度，在该点评估 $ frac {1} {2} $. 使用任何计算机软件包进行统计，我们都可以 找[eq47]

练习3

假设随机变量 X 具有卡方分布 $5$ 自由程度。定义随机变量 Y 如 如下：[eq48]计算 的期望值 Y.

解

的期望值 Y 可以使用 X:[eq49]现在， 通过利用期望值的线性，我们 获得[eq50]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "卡方分布", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/chi-square-distribution.

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