随机变量
如果可以将其写为
方格:
哪里
,
...,
相互独立 标准正常随机
变数.
卡方分布的重要性源于以下事实: 这种情况在统计中经常遇到,尤其是在 方差估计和假设检验。
卡方随机变量的特征如下。
以下符号通常用于表示随机变量
具有卡方分布
度数
自由:
哪里
符号
表示“分发为”。
为了更好地了解卡方分布,您可以看一下 密度图.
的 期望值 卡方随机数
变量
是
它
可以导出为
如下:
的 方差 卡方随机变量
是
它
可以归功于平常
方差公式
():
的 力矩产生功能 卡方的
随机变量
为任何定义
:
使用
力矩产生函数的定义,我们
获得的
上面的积分是定义明确的,只有当
,
即,何时
.
因此,存在卡方随机变量的矩生成函数
对于任何
.
的 特征函数 卡方的
随机变量
是
使用
特征函数的定义,我们
获得:
的 分配功能
卡方随机变量
是哪里
的
功能
是
叫 下不完全伽玛函数 并且是
通常通过专门的计算机算法来计算。
这证明为
如下:
通常,可以求助于直接计算的计算机算法
的价值
.
例如,MATLAB命令
chi2cdf(x,n)
returns 的 value at 的 point x
的 的 distribution
卡方随机变量的函数
n
自由程度。
过去,当计算机不普及时,人们通常会抬头看。
的价值
在卡方分布表中
列出了以下几个值
和
(请参阅标题为“
卡方分布
价值观)。
在以下小节中,您可以找到有关卡方的更多详细信息 分配。
让
是一个卡方随机变量
自由度和
另一个卡方随机变量
自由程度。如果
和
是 独立,则它们的总和具有卡方
与分布
度数
自由:
这个
可以概括为两个以上卡方随机变量的总和,
只要他们是 相互
独立:
这很容易证明
使用力矩生成功能。力矩产生函数
是
定义
的
相互独立的随机变量之和的矩生成函数
只是他们瞬间产生的产物
职能:
哪里
因此,
的力矩产生函数
是瞬间产生
自由度,因此,
是具有以下项的卡方随机变量:
自由程度。
让
成为标准的正常随机变量,让
是它的
广场:
然后
是具有1个自由度的卡方随机变量。
对于
,
的分布函数
是
哪里
是标准正态随机数的概率密度函数
变量:
对于
,
因为
,
是一个正方形,不能为负。使用
莱布尼兹积分
规则 密度函数是导数的导数
分布函数,概率密度函数
,
表示为
,
如下获得
):
对于
,
琐碎地
.
作为一个
后果,
因此,
是概率密度1
自由度。
结合以上两个事实,一个简单地得出平方和
的
独立标准正态随机变量是卡方随机变量
与
自由程度。
本部分显示了一些卡方随机数的密度图 变量。这些图帮助我们了解卡方的形状 分布通过更改自由度参数来更改。
下图包含两个密度函数的图形:
第一张图(红线)是卡方的概率密度函数
随机变量
自由程度;
第二张图(蓝线)是a的概率密度函数
卡方随机变量
自由程度。
垂直的细线表示两种分布的均值。通过 增加自由度的数量,我们增加了 分布,以及较大值的概率密度。
下图还包含两个密度函数的图形:
第一张图(红线)是卡方的概率密度函数
随机变量
自由程度;
第二张图(蓝线)是a的概率密度函数
卡方随机变量
自由程度。
如上图所示,分布的均值随度数而增加 自由度增加。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是一个卡方随机变量
自由程度。计算以下
可能性:
首先,我们需要表达
就分布函数而言,上述概率
:
哪里
的
价值观
能够
用计算机算法计算或在卡方分布中找到
表(请参阅讲座
卡方分布
价值观)。
让
和
是两个具有均值的独立正态随机变量
和方差
.
计算以下
可能性:
首先,两个变量
和
可以写
如
哪里
和
是两个标准的正常随机变量。因此,我们可以
写
但
总和
具有卡方分布
自由程度。
因此,
哪里
是卡方随机变量的分布函数
与
自由度,在该点评估
.
使用任何计算机软件包进行统计,我们都可以
找
假设随机变量
具有卡方分布
自由程度。定义随机变量
如
如下:
计算
的期望值
.
的期望值
可以使用
:
现在,
通过利用期望值的线性,我们
获得
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "卡方分布", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/chi-square-distribution.