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指数分布

通过 博士

指数分布是一种连续概率分布，用于 对给定事件发生之前我们需要等待的时间进行建模。它是 的连续对应 几何 分配 ，而是离散的。

有时也称为负指数分布。

目录

目录

  1. 介绍

  2. 定义

  3. 速率参数及其解释

  4. 期望值

  5. 方差

  6. 瞬间产生功能

  7. 特征功能

  8. 分配功能

  9. 更多细节

    1. 无记忆的财产

    2. 指数随机变量的总和是Gamma随机变量

  10. 密度图

  11. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

介绍

给定区域发生地震之前需要多少时间？怎么样 我们需要等多久，直到客户进入我们的商店？要多久 在呼叫中心接到下一个电话之前要做什么？一块要多久 机械工作没有中断？

诸如此类的问题经常以概率的方式回答 使用指数分布。

所有这些问题都与我们在给定事件之前需要等待的时间有关 发生。如果这个等待时间未知，通常考虑一下 作为一个 随机变量 具有指数 分配。

大致来说，时间 X 如果事件发生，我们需要等待事件发生呈指数分布 该事件在特定时间间隔内发生的概率为 与该时间间隔的长度成正比。

更确切地说， X 如果 有条件的 可能性 [eq1] 是 大约与长度成比例 $ Delta t $ 时间之间的时间间隔 $ t $ 和 $ t +增量t $ , 随时随地 $ t $ .

在许多实际情况下，此属性非常现实。这是 指数分布被广泛用于建模等待的原因 次。

指数分布与泊松分布严格相关。 如果1）事件可能发生不止一次，以及2）两点之间经过的时间 连续出现呈指数分布且与 先前发生的次数，则事件在一个事件中发生的次数 给定的时间单位具有泊松分布。我们邀请读者来看看 讲座 泊松分布 更多 详细说明和直观的图形表示形式。

定义

指数分布的特征如下。

定义 让 X 成为 连续 随机变量 。 让它 支持 被设置 正实 数字： [eq2] 让 [eq3]. 我们说 X 有一个 指数分布 带参数 $ λ$ 当且仅当其 概率密度 功能 是 [eq4] 的 参数 $ λ$ 叫做 速率参数.

具有指数分布的随机变量也称为 指数随机变量。

以下是证明 [eq5] 是一个 合法概率密度函数.

证明

非负性很明显。我们需要证明 的积分 [eq6] 过度 R 等于 1. 这证明为 如下： [eq7]

为了更好地了解指数分布，可以看一下它的 密度图.

速率参数及其解释

我们已经提到事件在两个日期之间发生的概率 $ t $ 和 $ t +增量t $ 与...成正比 $ Delta t $ （以之前未发生的信息为条件 $ t $ ）。 速率参数 $ λ$ 是...的常数 比例性：[eq8] 哪里 [eq9] 是一个比...高的无穷小数 $ Delta t $ （即 $ Delta t $ 比零快到零 $ Delta t $ 确实）。

上述比例条件也足以完全 表征指数分布。

主张 比例性 健康）状况 [eq10] 是 仅在满足时 X 具有指数分布。

证明

条件概率 [eq11] 可以写 如 [eq12] 表示 通过 [eq13] 的 分配功能 的 X, 那 是的 [eq14] 和 通过 [eq15] 它的生存 功能： [eq16] 然后， [eq17] 划分 双方 $-增量t $ , 我们 获得 [eq18] 哪里 $ oleft（1 权）$ 是一个趋向于 0 什么时候 $ Delta t $ 倾向于 0. 限制双方，我们 获得 [eq19] 要么， 根据...的定义 衍生物： [eq20] 这个 使用链可轻松解决微分方程 规则： [eq21] 服用 来自的积分 0 至 x 双方，我们 得到 [eq22] 和 [eq23] 要么 [eq24] 但 [eq25] （因为 X 不能取负值） 暗示 [eq26]求幂 双方，我们 获得 [eq27] 因此， [eq28] 要么 [eq29] 但 密度函数是分布的一阶导数 功能： [eq30] 和 最右边的项是指数随机变量的密度。 因此，仅在以下情况下满足比例条件 X 是指数随机变量

期望值

的 期望值 指数随机 变量 X 是 [eq31]

证明

它 可以导出为 如下： [eq32]

方差

的 方差 指数随机变量 X 是 [eq33]

证明

它 可以归功于平常 方差公式 ([eq34] ）： [eq35]

瞬间产生功能

的 力矩产生功能 的 指数随机变量 X 为任何定义 $t<lambda $:[eq36]

证明

的 力矩产生函数的定义 给 [eq37] 的 当然，上述积分仅在以下情况下收敛 [eq38], 即只有 $t<lambda $. 因此，指数随机变量的矩生成函数 为所有人而存在 $t<lambda $.

特征功能

的 特征函数 指数的 随机变量 X 是 [eq39]

证明

通过 使用特征函数的定义和事实 [eq40] 我们 能够 写 [eq41] 我们 现在分别计算两个积分。第一积分 是 [eq42] 因此， [eq43] 哪一个 可以重新排列为 让 [eq44] 要么 [eq45] 的 第二积分 是 [eq46] 因此， [eq47] 哪一个 可以重新排列为 让 [eq48] 要么 [eq49] 通过 放在一起，我们 得到 [eq50]

分配功能

指数随机变量的分布函数 X 是 [eq51]

证明

如果 $x<0$, 然后 [eq52] 因为 X 不能取负值。如果 $ xgeq 0 $ , 然后 [eq53]

更多细节

在以下小节中，您可以找到有关指数的更多详细信息 分配。

无记忆的财产

指数分布的最重要属性之一是 无记忆属性: [eq54] 对于 任何 $ xgeq 0 $ .

证明

这证明为 如下： [eq55]

X 是我们在某个事件发生之前需要等待的时间。以上属性 说事件发生的时间间隔为 长度 $ y $ 与已经过去了多少时间无关 (x) 没有事件发生。

指数随机和 变量是伽玛随机变量

假设 X_1, X_2, ...， X_n 是 n 相互独立的随机变量 有 带参数的指数分布 $ λ$ .

定义 [eq56]

然后，总和 Z 是一个 伽玛随机变量 带参数 $2n$ 和 $ frac {n} {lambda} $.

证明

这可以通过力矩产生来证明 函数（记住，矩的产生函数是相互和的 独立随机变量只是它们产生力矩的产物 职能）： [eq57] 的 后者是具有 参数 $2n$ 和 $ frac {n} {lambda} $. 所以 Z 具有Gamma分布，因为两个随机变量具有相同的 具有相同的力矩产生函数时的分布。

随机变量 Z 有时也说有一个 Erlang分布 。 的 Erlang分布只是Gamma分布的一种特殊情况：Gamma 当可以将随机变量写为 指数随机变量的总和。

密度图

下图显示了指数分布的密度如何随 更改速率参数：

垂直的细线表示两种分布的均值。注意 通过增加速率参数，我们可以降低 来自 1 至 $1/2$.

指数密度图1

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 X 是具有参数的指数随机变量 [eq58]. 计算以下 可能性： [eq59]

解

首先我们可以写出概率 如 [eq60] 使用 连续随机变量具有任何概率的事实 特定值等于零（请参阅 连续 随机变量和零概率事件）。现在，概率可以是 用...的分布函数写 X 如 [eq61]

练习2

假设随机变量 X 具有参数的指数分布 $ lambda = 1 $ . 计算以下 可能性： [eq62]

解

这个概率很容易计算 通过使用分布函数 X:[eq63]

练习3

随机变量的概率是多少 X 小于其期望值，如果 X 具有参数的指数分布 $ λ$ ?

解

指数的期望值 带参数的随机变量 $ λ$ 是 [eq64] 的 上面的概率可以通过使用 X:[eq65]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "指数分布", 列克特 ures on 可能性 的 要么 y 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/exponential-distribution.

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