指数分布是一种连续概率分布,用于 对给定事件发生之前我们需要等待的时间进行建模。它是 的连续对应 几何 分配 ,而是离散的。
有时也称为负指数分布。
给定区域发生地震之前需要多少时间?怎么样 我们需要等多久,直到客户进入我们的商店?要多久 在呼叫中心接到下一个电话之前要做什么?一块要多久 机械工作没有中断?
诸如此类的问题经常以概率的方式回答 使用指数分布。
所有这些问题都与我们在给定事件之前需要等待的时间有关 发生。如果这个等待时间未知,通常考虑一下 作为一个 随机变量 具有指数 分配。
大致来说,时间
如果事件发生,我们需要等待事件发生呈指数分布
该事件在特定时间间隔内发生的概率为
与该时间间隔的长度成正比。
更确切地说,
如果 有条件的
可能性
是
大约与长度成比例
时间之间的时间间隔
和
,
随时随地
.
在许多实际情况下,此属性非常现实。这是 指数分布被广泛用于建模等待的原因 次。
指数分布与泊松分布严格相关。 如果1)事件可能发生不止一次,以及2)两点之间经过的时间 连续出现呈指数分布且与 先前发生的次数,则事件在一个事件中发生的次数 给定的时间单位具有泊松分布。我们邀请读者来看看 讲座 泊松分布 更多 详细说明和直观的图形表示形式。
指数分布的特征如下。
具有指数分布的随机变量也称为 指数随机变量。
以下是证明
是一个 合法概率密度函数.
非负性很明显。我们需要证明
的积分
过度
等于
.
这证明为
如下:
为了更好地了解指数分布,可以看一下它的 密度图.
我们已经提到事件在两个日期之间发生的概率
和
与...成正比
(以之前未发生的信息为条件
)。
速率参数
是...的常数
比例性:
哪里
是一个比...高的无穷小数
(即
比零快到零
确实)。
上述比例条件也足以完全 表征指数分布。
主张
比例性
健康)状况 是
仅在满足时
具有指数分布。
条件概率
可以写
如
表示
通过
的 分配功能
的
,
那
是的
和
通过
它的生存
功能:
然后,
划分
双方
,
我们
获得
哪里
是一个趋向于
什么时候
倾向于
.
限制双方,我们
获得
要么,
根据...的定义
衍生物:
这个
使用链可轻松解决微分方程
规则:
服用
来自的积分
至
双方,我们
得到
和
要么
但
(因为
不能取负值)
暗示
求幂
双方,我们
获得
因此,
要么
但
密度函数是分布的一阶导数
功能:
和
最右边的项是指数随机变量的密度。
因此,仅在以下情况下满足比例条件
是指数随机变量
的 期望值 指数随机
变量
是
它
可以导出为
如下:
的 方差 指数随机变量
是
它
可以归功于平常
方差公式
( ):
的 力矩产生功能 的
指数随机变量
为任何定义
:
的
力矩产生函数的定义
给 的
当然,上述积分仅在以下情况下收敛
,
即只有
.
因此,指数随机变量的矩生成函数
为所有人而存在
.
的 特征函数 指数的
随机变量
是
通过
使用特征函数的定义和事实
我们
能够
写
我们
现在分别计算两个积分。第一积分
是
因此,
哪一个
可以重新排列为
让
要么
的
第二积分
是
因此,
哪一个
可以重新排列为
让
要么
通过
放在一起,我们
得到
指数随机变量的分布函数
是
如果
,
然后
因为
不能取负值。如果
,
然后
在以下小节中,您可以找到有关指数的更多详细信息 分配。
指数分布的最重要属性之一是
无记忆属性:
对于
任何
.
这证明为
如下:
是我们在某个事件发生之前需要等待的时间。以上属性
说事件发生的时间间隔为
长度
与已经过去了多少时间无关
(
)
没有事件发生。
假设
,
,
...,
是
相互独立的随机变量 有
带参数的指数分布
.
定义
然后,总和
是一个 伽玛随机变量 带参数
和
.
这可以通过力矩产生来证明
函数(记住,矩的产生函数是相互和的
独立随机变量只是它们产生力矩的产物
职能): 的
后者是具有
参数
和
.
所以
具有Gamma分布,因为两个随机变量具有相同的
具有相同的力矩产生函数时的分布。
随机变量
有时也说有一个 Erlang分布 。 的
Erlang分布只是Gamma分布的一种特殊情况:Gamma
当可以将随机变量写为
指数随机变量的总和。
下图显示了指数分布的密度如何随 更改速率参数:
第一张图(红线)是
带速率参数的指数随机变量
;
第二张图(蓝线)是
带速率参数的指数随机变量
.
垂直的细线表示两种分布的均值。注意
通过增加速率参数,我们可以降低
来自
至
.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是具有参数的指数随机变量
.
计算以下
可能性:
首先我们可以写出概率
如 使用
连续随机变量具有任何概率的事实
特定值等于零(请参阅 连续
随机变量和零概率事件)。现在,概率可以是
用...的分布函数写
如
假设随机变量
具有参数的指数分布
.
计算以下
可能性:
这个概率很容易计算
通过使用分布函数
:
随机变量的概率是多少
小于其期望值,如果
具有参数的指数分布
?
指数的期望值
带参数的随机变量
是
的
上面的概率可以通过使用
:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "指数分布", 列克特 ures on 可能性 的 要么 y 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/exponential-distribution.