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伽玛真人在线斗地主

通过 博士

伽玛真人在线斗地主可以被认为是 卡方真人在线斗地主.

如果是随机变量 Z 具有卡方真人在线斗地主 n 自由度和 $ h $ 是严格的正常数,然后是随机变量 X 定义为 [eq1]具有 具有参数的Gamma真人在线斗地主 n$ h $.

目录

定义

伽玛随机变量的特征如下。

定义X 成为 连续 随机变量。让它 支持 被设置 正实 数字:[eq2][eq3]. 我们说 X 有一个 伽玛真人在线斗地主 带参数 n$ h $ 当且仅当其 概率密度 功能[eq4]哪里 $ c $ 是一个 不变:[eq5][eq6] 是个 伽玛功能.

具有伽马真人在线斗地主的随机变量也称为伽马随机 变量。

为了更好地了解Gamma真人在线斗地主,您可以看一下 密度图.

期望值

期望值 伽玛随机变量的 X[eq7]

证明

它 可以导出为 如下:[eq8]

方差

方差 伽玛随机变量的 X[eq9]

证明

它 可以归功于平常 方差公式 ([eq10]):[eq11]

瞬间产生功能

力矩产生功能 伽玛随机数 变量 X 为任何定义 $ frac {n} {2h} $:[eq12]

证明

通过 使用力矩生成函数的定义,我们 获得[eq13]哪里 积分等于 1 因为它是伽玛概率密度函数的积分 带参数的随机变量 n[eq14]. 从而,[eq15]的 当然,上述积分仅在以下情况下收敛 [eq16], 即只有 $ frac {n} {2h} $. 因此,存在伽玛随机变量的矩产生函数 对所有人 $ frac {n} {2h} $.

特征功能

特征函数 伽玛随机数 变量 X[eq17]

证明

它可以通过使用 特征函数和泰勒级数 扩张:[eq18]

分配功能

分配功能 伽玛随机变量的 是[eq19]哪里 的 功能[eq20]是 叫 下不完全伽玛函数 并且是 通常使用专门的计算机算法进行评估。

证明

这证明为 如下:[eq21]

更多细节

在以下小节中,您可以找到有关Gamma的更多详细信息 分配。

伽玛真人在线斗地主是缩放的卡方真人在线斗地主

如果一个变量 X 具有参数的Gamma真人在线斗地主 n$ h $, 然后[eq22]哪里 Z 具有卡方真人在线斗地主 n 自由程度。

证明

使用公式可以很容易地证明这一点 为了 连续函数的密度 变量 ([eq23] 是严格增加的功能 Z, 以来 $ frac {h} {n} $ 严格 正):[eq24]的 卡方随机变量的密度函数 n 自由程度 是[eq25]哪里 [eq26]因此,[eq27]哪一个 是具有参数的Gamma真人在线斗地主的密度 n$ h $.

因此,卡方真人在线斗地主是伽玛真人在线斗地主的特例 因为,当 $ h = n $, 我们 有[eq28]

换句话说,带有参数的Gamma真人在线斗地主 n$ h = n $ 只是卡方真人在线斗地主 n 自由程度。

伽玛随机变量乘以严格正 常数是Gamma随机变量

通过将Gamma随机变量乘以严格的正常数, 获得另一个Gamma随机变量。如果 X 是具有参数的Gamma随机变量 n$ h $, 然后是随机变量 Y 定义的 如 [eq29]具有 具有参数的Gamma真人在线斗地主 n$ ch $.

证明

使用结果可以很容易看出 从以前的 小节:[eq30]哪里 Z 具有卡方真人在线斗地主 n 自由程度。 因此,[eq31]在 也就是说, Y 等于卡方误差为 n 自由度除以 n 并乘以 $ ch $. 因此,它具有带有参数的Gamma真人在线斗地主 n$ ch $.

伽玛随机变量是法线平方的总和 random 变数

在演讲中 卡方真人在线斗地主 我们 解释了卡方随机变量 Zn 自由程度 (n 整数)可以写成的平方和 n 独立正态随机变量 $ W_ {1} $, ...,$ W_ {n} $ 刻薄 0 和方差 1:[eq32]

在前面的小节中,我们看到了一个变量 X 具有参数的Gamma真人在线斗地主 n$ h $ 可以写 如 [eq33]哪里 Z 具有卡方真人在线斗地主 n 自由程度。

将这两件事放在一起,我们 获得[eq34]哪里 我们有 定义的[eq35]但 变量 $ Y_ {i} $ 是具有均值的正常随机变量 0 和方差 $ frac {h} {n} $. 因此,带有参数的Gamma随机变量 $ n $$ h $ 可以看成是 n 具有均值的独立正态随机变量 0 和方差 $ h / n $.

密度图

此页面收集了一些 伽玛 分配。这些图帮助我们了解伽玛的形状 更改其参数时,真人在线斗地主也会更改。

情节1-均值相同,但自由度不同

下图包含两个伽玛概率密度的图 职能。

因为 $h=3$ 在两种情况下,两个真人在线斗地主的均值相同。但是,通过 增加自由度的数量 $n=6$$n=8$, 真人在线斗地主的形状发生变化(自由度越大 真人在线斗地主越接近正态真人在线斗地主)。

垂直的细线表示两种真人在线斗地主的均值。

伽玛密度图1

情节2-均值不同,但均值相同 degrees of freedom

下图包含两个伽玛概率密度的图 职能:

增加参数 $ h $ 将真人在线斗地主的均值从 $2$$4$. 但是,两个真人在线斗地主具有相同的自由度数 ($n=6$)。 因此,它们具有相同的形状(一个是“ 其他”-在不同的范围内看起来完全一样)。

伽玛密度图2

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X_1X_2 是两个独立的卡方随机变量 $3$$5$ 自由度分别。考虑以下随机 变量:[eq36]什么 他们有真人在线斗地主吗?

是卡方随机数的倍数 变量,变量 $ Y_ {1} $, $ Y_ {2} $$ Y_ {3} $ 都具有伽玛真人在线斗地主。随机变量 $ X_ {1} $ 具有 $n=3$ 自由度和随机变量 $ Y_ {1} $ 可以写 如 [eq37]哪里 $h=6$. 因此 $ Y_ {1} $ 具有带有参数的Gamma真人在线斗地主 $n=3$$h=6$. 随机变量 X_2 具有 $n=5$ 自由度和随机变量 $ Y_ {2} $ 可以写 如 [eq38]哪里 $ h = 5/3 $. 因此 $ Y_ {2} $ 具有带有参数的Gamma真人在线斗地主 $n=5$$ h = 5/3 $. 随机变量 $ X_ {1} + X_ {2} $ 具有卡方真人在线斗地主 $ n = 3 + 5 = 8 $ 自由度,因为 X_1X_2 是独立的(请参阅标题为“ 卡方真人在线斗地主),以及随机 变量 $ Y_ {3} $ 可以写 如 [eq39]哪里 $h=24$. 因此 $ Y_ {3} $ 具有带有参数的Gamma真人在线斗地主 $n=8 $$h=24$.

练习2

X 是具有参数的Gamma真人在线斗地主的随机变量 $n=4 $$h=2$. 定义以下随机 变量:[eq40]

这些变量有什么真人在线斗地主?

将Gamma随机变量乘以 严格地,正常数仍然可以得到Gamma随机变量。在 特别是随机变量 $ Y_ {1} $ 是具有参数的Gamma随机变量 $n=4$[eq41] 随机变量 $ Y_ {2} $ 是具有参数的Gamma随机变量 $n=4$[eq42] 随机变量 $ Y_ {3} $ 是具有参数的Gamma随机变量 $n=4$[eq43]的 随机变量 $ Y_ {3} $ 也是卡方误差 $4$ 自由度(请记住,带有参数的Gamma随机变量 n$ h $ 也是卡方随机变量 $ n = h $)。

练习3

X_1, X_2$ X_ {3} $ 相互独立 正常随机 具有均值的变量 $ mu = 0 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 3 $. 考虑随机 变量[eq44]什么 真人在线斗地主确实 X 有?

随机变量 X 可以写成 [eq45]哪里 $ Z_ {1} $, $ Z_ {2} $$ Z_ {3} $ 相互独立 标准正常随机 变数。总和 [eq46] 具有卡方真人在线斗地主 $3$ 自由度(请参阅标题为“ 卡方真人在线斗地主)。因此 X 具有带有参数的Gamma真人在线斗地主 $n=3$$h=18$.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "伽玛真人在线斗地主", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/gamma-distribution.

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