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伽玛分布

经过 ,博士学位

伽玛分布可以被认为是作为概括的 Chi-Square分布.

If a random variable Z 有一个Chi-Square分布 n 自由度和 $ h $ 是一个严格的正常常数,然后是随机变量 X defined as [eq1]具有 具有参数的伽马分布 n and $ h $.

目录

定义

伽玛随机变量的特征如下。

定义 Let X be a continuous random variable。让它 support 是 the set of positive real numbers:[eq2][eq3]. We say that X has a 伽玛分布 和 parameters n and $ h $ if and only if its probability density function is[eq4]在哪里 $ C $ is a constant:[eq5][eq6] is the 伽玛 function.

具有伽马分布的随机变量也称为伽玛随机 variable.

为了更好地了解伽玛分布,您可以看看它 density plots.

期望值

The expected value 伽玛随机变量 X is[eq7]

证明

它 can be derived as follows:[eq8]

方差

The variance 伽玛随机变量 X is[eq9]

证明

它 可以通过惯常来源出来 方差 formula ([eq10]):[eq11]

时刻产生功能

The 时刻产生功能 of a Gamma random variable X is defined for any $ frac {n} {2h} $:[eq12]

证明

经过 使用时刻生成函数的定义,我们 obtain[eq13]在哪里 the integral equals 1 因为它是伽马概率密度函数的积分 随机变量与参数 n and [eq14]. Thus,[eq15]的 当然,上面的积分只会收敛 [eq16], i.e. only if $ frac {n} {2h} $. 因此,存在伽马随机变量的瞬间产生函数 for all $ frac {n} {2h} $.

特征功能

The 特征功能 of a Gamma random variable X is[eq17]

证明

它可以通过使用定义来源的 特征功能和泰勒系列 expansion:[eq18]

分配功能

The 分配功能 伽玛随机变量 is[eq19]在哪里 the function[eq20]是 called 降低不完整的伽马功能 和 is 通常使用专用计算机算法进行评估。

证明

这被证明是如此 follows:[eq21]

更多细节

在以下小节中,您可以找到有关伽玛的更多详细信息 distribution.

伽马分布是一个缩放的Chi-Square分布

If a variable X 具有参数的伽马分布 n and $ h $, then[eq22]在哪里 Z 有一个Chi-Square分布 n degrees of freedom.

证明

可以使用公式来容易证明这一点 for the 连续的函数的密度 variable ([eq23] 是一个严格越来越多的功能 Z, since $ FRAC {H} {n} $ is strictly positive):[eq24]这 Chi-Square随机变量的密度函数 n degrees of freedom is[eq25]在哪里 [eq26]所以,[eq27]哪一个 是具有参数的伽马分布的密度 n and $ h $.

因此,Chi-Square分布是伽马分布的特殊情况 because, when $ h = n $, we have[eq28]

换句话说,具有参数的伽马分布 n and $ h = n $ 只是一个奇广场分布 n degrees of freedom.

伽玛随机可变时间严格阳性 常数是伽马随机变量

通过将伽马随机变量乘以严格的正常常数,一个 获得另一个伽马随机变量。如果 X 是一个带参数的伽玛随机变量 n and $ h $, 然后是随机变量 Y defined as[eq29]具有 具有参数的伽马分布 n and $ ch $.

证明

可以使用结果很容易地看到这一点 from the previous subsection:[eq30]在哪里 Z 有一个Chi-Square分布 n degrees of freedom. Therefore,[eq31]在 other words, Y 等于Chi-Square随机变量 n 自由度,除以 n and multiplied by $ ch $. 因此,它具有带参数的伽马分布 n and $ ch $.

伽玛随机变量是平方正常的总和 random variables

在讲座中题为 Chi-Square分布 we 已经解释了一个Chi-Square随机变量 Z with n degrees of freedom (n 整数)可以写成一总体的总和 n 独立正常随机变量 $ w_ {1} $, ...,$ w_ {n} $ having mean 0 and variance 1:[eq32]

在前一小节中,我们已经看到了一个变量 X 具有参数的伽马分布 n and $ h $ can be written as[eq33]在哪里 Z 有一个Chi-Square分布 n degrees of freedom.

把这两件事放在一起,我们 obtain[eq34]在哪里 we have defined[eq35]但 the variables $ y_ {i} $ 是正常随机变量,平均值 0 and variance $ FRAC {H} {n} $. 因此,具有参数的伽马随机变量 $ n $ and $ h $ 可以被视为一定的平方和 n 具有平均值的独立正常随机变量 0 and variance $ h / n $.

密度图

这个页面收集一些图 Gamma distribution。这些绘图有助于我们了解伽玛的形状 当其参数更改时分布发生变化。

情节1 - 相同的平均值但不同程度的自由度

以下绘图包含两个伽马概率密度的图表 functions.

Because $h=3$ 在这两种情况下,两个分布具有相同的平均值。但是,凭借 增加自由度的程度 $n=6$ to $n=8$, 分布变化的形状(自由度越多) 增加了分布类似于正常分布的)。

薄的垂直线表示两个分布的装置。

伽玛密度图1

绘图2 - 不同的手段但相同数量 degrees of freedom

以下绘图包含两个伽马概率密度的图表 functions:

增加参数 $ h $ 改变分布的平均值 $2$ to $4$. 但是,这两个分布具有相同程度的自由度 ($n=6$)。 因此,它们具有相同的形状(一个是“拉伸版本 其他“ - 它看起来完全相同)。

伽玛密度图2

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X_1 and X_2 是两个独立的chi-square随机变量 $3$ and $5$ 分别自由度。考虑以下随机 variables:[eq36]什么 他们有分发吗?

解决方案

随机随机倍数 变量,变量 $ y_ {1} $, $ y_ {2} $ and $ y_ {3} $ 所有人都有伽玛分布。随机变量 $ x_ {1} $ has $n=3$ 自由度和随机变量 $ y_ {1} $ can be written as[eq37]在哪里 $h=6$. Therefore $ y_ {1} $ 具有参数的伽玛分布 $n=3$ and $h=6$. The random variable X_2 has $n=5$ 自由度和随机变量 $ y_ {2} $ can be written as[eq38]在哪里 $ h = 5/3 $. Therefore $ y_ {2} $ 具有参数的伽玛分布 $n=5$ and $ h = 5/3 $. The random variable $ x_ {1} + x_ {2} $ 有一个Chi-Square分布 $ n = 3 + 5 = 8 $ 自由度,因为 X_1 and X_2 是独立的(参见题为有权的讲座 Chi-Square分布)和随机 variable $ y_ {3} $ can be written as[eq39]在哪里 $h=24$. Therefore $ y_ {3} $ 具有参数的伽玛分布 $n=8 $ and $h=24$.

练习2

Let X 是具有具有参数的伽马分布的随机变量 $n=4 $ and $h=2$. 定义以下随机 variables:[eq40]

这些变量有什么分布?

解决方案

将伽玛随机变量乘以a 严格的正常常量仍然获得伽玛随机变量。在 特别是随机变量 $ y_ {1} $ 是一个带参数的伽玛随机变量 $n=4$ and [eq41] The random variable $ y_ {2} $ 是一个带参数的伽玛随机变量 $n=4$ and [eq42] The random variable $ y_ {3} $ 是一个带参数的伽玛随机变量 $n=4$ and [eq43]这 random variable $ y_ {3} $ 也是一个奇方随机变量 $4$ 自由度(记住伽马随机变量与参数 n and $ h $ 也是Chi-Square随机变量 $ n = h $)。

练习3.

Let X_1, X_2 and $ x_ {3} $ be mutually independent normal random 变量有平均值 $ mu = 0 $ and variance $ sigma ^ {2} = 3 $. Consider the random variable[eq44]什么 distribution does X have?

解决方案

随机变量 X can be written as [eq45]在哪里 $ z_ {1} $, $ z_ {2} $ and $ z_ {3} $ 是相互独立的 标准正常随机 variables。总和 [eq46] 有一个Chi-Square分布 $3$ 自由度(参见讲座 Chi-Square分布)。所以 X 具有参数的伽玛分布 $n=3$ and $h=18$.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "伽玛分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/gamma-distribution.

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