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几何分布

通过 博士

几何分布是数的概率分布 通过重复伯努利实验获得失败,直到获得第一个 成功。

目录

直觉

考虑一个 贝努利 实验,即具有两个可能结果的随机实验: 成功或失败。

我们重复实验直到获得第一个成功,然后再计算 数 X 记录成功之前我们所面临的失败。

由于实验是随机的, X 是一个 随机 变量。如果实验重复 独立 彼此,然后分布 $ X,$, 我们下面将要研究的被称为几何分布。

如果我们抛硬币直到获得正面,第一个之前的反面数目 头部具有几何分布。

在本讲座的最后,我们还将研究 几何分布,称为平移几何分布。后者是 试验总数的分布(所有失败+第一个失败 成功)。换句话说,如果 X 具有几何分布,那么 $X+1$ 具有偏移的几何分布。

定义

几何分布的特征如下。

定义X 成为 离散随机 变量。让 [eq1]. 让 支持X 是非负数的集合 整数[eq2]我们 比如说 X 有一个 几何分布 参数 p 如果它是 概率质量 功能[eq3]

以下是证明 [eq4] 是一个 合法概率质量函数.

证明

机率 [eq5] 定义明确,且非负数 x 因为 [eq6]. 我们只需要证明 [eq7] 在其支持等于 1: [eq8]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了 公式 几何级数.

与伯努利分布的关系

正如我们在简介中所述,几何分布与 伯努利分布。

请记住,伯努利随机变量等于 1 (成功)的可能性 p0 (失败)的可能性 $1-p$.

主张[eq9] 是具有参数的独立伯努利随机变量的序列 p. 然后,对于任何整数 $ xgeq 0 $, 的概率 $ B_ {n} = 0 $ 对于 $ nleq x $$ B_ {x + 1} = 1 $[eq10]哪里 [eq11] 是具有参数的几何分布的概率质量函数 p.

证明

由于伯努利随机变量是 独立,我们有 那[eq12]

期望值

期望值 几何随机变量 X[eq13]

证明

可以导出为 如下:[eq14]

方差

方差 几何随机变量 X[eq15]

证明

让我们首先得出 第二刻X:[eq16]现在, 我们可以使用 方差 式:[eq17]

瞬间产生功能

力矩产生功能 的 几何随机变量 X 为任何定义 [eq18]:[eq19]

证明

这证明为 如下:[eq20]哪里 系列中的步骤 $ rame {A} $ 仅在以下情况下收敛 [eq21]那 只是 如果[eq22]通过 以双方的自然对数,条件 变成[eq23]

特征功能

特征函数 几何随机数 变量 X[eq24]

证明

该证明类似于针对 mgf:[eq25]

分配功能

分配功能 几何随机变量 X[eq26]

证明

对于 $x<0$, [eq27], 因为 X 不能小于 0. 对于 $ xgeq 0 $, 我们 有[eq28]

偏移的几何分布

正如我们在简介中所述,几何分布是 首次成功之前失败的试验数量的分布,而 转移的几何分布是总数的分布 试用(所有失败+首次成功)。换句话说,如果 X 具有几何分布,那么 [eq29] 具有偏移的几何分布。

这样就很容易推导出平移几何的属性 分配。

期望值 是[eq30]

其方差 是[eq31]

它的力矩生成功能对于任何 [eq32]:[eq33]

其特色功能 是[eq34]

其分配功能 是[eq35]

与指数分布的关系

几何分布被认为是指数的离散形式 分配。

假设伯努利实验以相等的时间间隔执行。然后, 几何随机变量 X 是以离散单位衡量的时间,直到我们获得 第一次成功。但是,如果我们要模拟给定事件之前经过的时间 发生在连续时间内,则要使用的适当分配是 指数分布(请参阅 这个 演讲)。

从数学角度看,几何分布享有相同的 无记忆属性 由指数拥有 分配:

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

在每一天中,我们都玩彩票,中奖的概率为 $1%$. 在我们之前经过的天数的期望值是多少 第一次赢?

每次我们玩彩票时, 结果是伯努利随机变量(如果我们获胜,则等于1),其参数为 $ p = 0.01 $. 因此,获胜前的天数是几何随机变量 带参数 $ p = 0.01 $. 其期望值 是[eq36]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "几何分布", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/geometric-distribution.

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