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对数正态分布

通过 博士

如果随机变量的自然变量被认为具有对数正态分布 对数有一个 正常 分配。换句话说,正常随机变量的指数 具有对数正态分布。

目录

定义

对数正态随机变量的特征如下。

定义X 成为 连续 随机变量。让它 支持 被设置 严格正实的 数字:[eq1]我们 比如说 X 有一个 对数正态分布 参数 亩sigma ^ 2 如果其概率密度函数 是[eq2]

与正态分布的关系

与正态分布的关系如下 主张。

主张Y 是具有均值的正常随机变量 亩 和方差 sigma ^ 2. 然后 变量[eq3]具有 具有参数的对数正态分布 亩sigma ^ 2.

证明

如果 Y 具有正态分布,则其概率密度函数 是[eq4]的 功能[eq5]是 严格增加,因此我们可以使用 式 对于严格增加的密度 功能[eq6]在 特别是,我们 有[eq7]所以 那[eq8]

期望值

期望值 对数正态随机变量 X[eq9]

证明

它 可以导出为 如下:[eq10]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们做了改变 变量[eq11]和 在步 $ rame {B} $ 我们使用了这样一个事实 [eq12]是 具有均值的正常随机变量的密度函数 $西格玛$ 和单位方差,因此其积分等于 1.

方差

方差 对数正态随机变量 X[eq13]

证明

让 我们首先获得第二时刻 [eq14]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们做了改变 变量[eq15]和 在步 $ rame {B} $ 我们使用了这样一个事实 [eq16]是 具有均值的正常随机变量的密度函数 $ 2西格玛$ 和单位方差,因此其积分等于1。我们可以 现在使用 方差公式 [eq17]

更高的时刻

n-th 时刻 对数正态 随机变量 X[eq18]

证明

它 可以得出如下: [eq19]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们做了改变 变量[eq20]和 在步 $ rame {B} $ 我们使用了这样一个事实 [eq21]是 具有均值的正常随机变量的密度函数 $ nsigma $ 和单位方差,因此其积分等于 1.

瞬间产生功能

对数正态分布不具有 力矩产生功能.

特征功能

一个封闭的公式 特征函数 的 对数正态随机变量未知。

分配功能

分配功能 [eq22] 对数正态随机变量 X 可以表达 如 [eq23]哪里 [eq24] 是标准正态随机变量的分布函数。

证明

上面我们证明了对数正态 变量 X 可以写 如 [eq25]哪里 Y 具有均值的正态分布 亩 和方差 sigma ^ 2. 反过来, Y 可以写 如 [eq26]哪里 Z 是标准的正常随机变量。作为一个 后果,[eq27]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "对数正态分布", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/log-normal-distribution.

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