多项式分布是对 二项分布.
如果你表演
一次只能产生两个结果的实验(成功或失败)
失败),那么您获得两个结果之一的次数
(成功)是一个二项式随机变量。
如果你表演
一次可以进行的实验
结果
(
可以是任何自然数),并用
您获得的次数
-th
结果,然后是随机向量
定义的
如
是
多项式随机向量。
多项式分布可以看作是相互独立的总和 Multinoulli随机变量。多项式和 其余部分将详细说明Multinoulli分布 讲座,将用于演示多项式的几个属性 分配。因此,强烈建议您阅读讲座 有资格 Multinoulli 分配 在阅读以下各节之前。
多项式随机向量的特征如下。
定义
让
成为
离散随机向量.
让
.
让 支持 的
成为
向量具有非负整数项的总和
:
让
,
...,
是
严格的正数,例如
那
我们
比如说
有一个 多项式分布 有真人在线斗地主
,
...,
和试验次数
,
如果它是 联合
真人在线斗地主质量函数
是
哪里
是个 多项式系数.
多项式和Multinoulli分布之间的联系是 由以下命题说明。
主张
如果是随机变量
具有真人在线斗地主的多项式分布
,
...,
和试验次数
,
那么它具有真人在线斗地主的Multinoulli分布
,
...,
.
的支持
是
及其联合真人在线斗地主质量函数
是
但
因为,
每个
,
要么
要么
和
.
作为一个
后果,
哪一个
是Multinoulli分布的联合真人在线斗地主质量函数。
主张
随机向量
具有参数的多项式分布
和
可以写
如
哪里
是
独立的随机向量都具有Multinoulli分布
参数
.
总和
等于向量
什么时候
提供
每个
和
,
向量有几种不同的实现
满足这些条件。以来
是Multinoulli变量,每个实现都有
可能性
(看到
也是先前命题的证明)。此外,数量
满足以上条件的实现等于
的分区
对象成
有数字的团体
(请参阅标题为“ 隔断),
反过来等于多项式系数
因此,
哪一个
证明
和
有
相同的分布。
的 期望值 多项式随机向量
是
哪里
的
向量
被定义为
如下:
使用
事实
可以写为
带参数的多重变量
,
我们
获得
哪里
是Multinoulli随机变量的期望值。
的 协方差矩阵 多项式随机数
向量
是
哪里
是一个
通用条目的矩阵
是
以来
可以表示为
具有参数的独立Multinoulli随机变量
,
我们
获得
的 关节力矩产生功能 的
多项式随机向量
为任何定义
:
以来
可以写为
具有参数的独立Multinoulli随机向量
,
关节力矩产生函数
源自
要求:
的 联合特征
功能 的
是
的
推导类似于联合矩产生的推导
功能(请参阅
以上):
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
一家销售两个标有A和B的商品的商店需要建立真人在线斗地主
接下来的10个客户将产生的销售模型。每一次
一位顾客到来时,只有三种结果可能:1)什么也没有卖出去; 2)
卖出了一个单位的项目A; 3)售出一单位的B项目。它一直
估计这三个结果的真人在线斗地主分别为0.50、0.25和
分别为0.25。此外,顾客的购物行为是
独立于所有其他客户的购物行为。表示为
a
其条目的向量
和
等于三个结果中每个结果发生的次数。派生
期望值和协方差矩阵
.
向量
具有多项式分布
参数
和
.
因此,其期望值
是
和
它的协方差矩阵
是
根据上一个练习中的假设,假设项目A的成本 $ 1,000和项目B的费用$ 2,000。推导期望值和方差 10个客户产生的总收入。
总收入
可以写成向量的线性变换
:
哪里
通过
期望值算子的线性,我们
获得
通过
使用线性变换协方差矩阵的公式,我们
获得
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "多项式分布", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multinomial-distribution.