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多项式分布

通过 博士

多项式分布是对 二项分布.

如果你表演 n 一次只能产生两个结果的实验​​（成功或失败） 失败），那么您获得两个结果之一的次数 （成功）是一个二项式随机变量。

如果你表演 n 一次可以进行的实验 K 结果 (K 可以是任何自然数），并用 X_i 您获得的次数 i-th 结果，然后是随机向量 X 定义的 如 [eq1]是 多项式随机向量。

多项式分布可以看作是相互独立的总和 Multinoulli随机变量。多项式和 其余部分将详细说明Multinoulli分布 讲座，将用于演示多项式的几个属性 分配。因此，强烈建议您阅读讲座 有资格 Multinoulli 分配 在阅读以下各节之前。

目录

目录

  1. 定义

  2. 表示为Multinoulli随机向量的总和

  3. 期望值

  4. 协方差矩阵

  5. 关节力矩产生功能

  6. 联合特征函数

  7. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

定义

多项式随机向量的特征如下。

定义 让 X 成为 Kx1 离散随机向量. 让 $ nin U {2115} $. 让 支持 的 X 成为 Kx1 向量具有非负整数项的总和 n:[eq2]让 $ p_ {1} $, ...， $ p_ {K} $ 是 K 严格的正数，例如 那[eq3]我们 比如说 X 有一个 多项式分布 有真人在线斗地主 $ p_ {1} $, ...， $ p_ {K} $ 和试验次数 n, 如果它是 联合 真人在线斗地主质量函数 是[eq4]哪里 [eq5] 是个 多项式系数.

表示为Multinoulli随机向量的总和

多项式和Multinoulli分布之间的联系是 由以下命题说明。

主张 如果是随机变量 X 具有真人在线斗地主的多项式分布 $ p_ {1} $, ...， $ p_ {K} $ 和试验次数 $n=1$, 那么它具有真人在线斗地主的Multinoulli分布 $ p_ {1} $, ...， $ p_ {K} $.

证明

的支持 X 是 [eq6] 及其联合真人在线斗地主质量函数 是[eq7]但[eq8]因为， 每个 $ i = 1，ldots，K $, 要么 $ x_ {i} = 0 $ 要么 $ x_ {i} = 1，$ 和 [eq9]. 作为一个 后果，[eq10]哪一个 是Multinoulli分布的联合真人在线斗地主质量函数。

主张 随机向量 X 具有参数的多项式分布 [eq11] 和 n 可以写 如 [eq12]哪里 [eq13] 是 n 独立的随机向量都具有Multinoulli分布 参数 [eq14].

证明

总和 [eq15] 等于向量 [eq16] 什么时候[eq17]提供 $ x_ {i} geq 0 $ 每个 i 和 [eq18], 向量有几种不同的实现 [eq19] 满足这些条件。以来 [eq20] 是Multinoulli变量，每个实现都有 可能性[eq21]（看到 也是先前命题的证明）。此外，数量 满足以上条件的实现等于 的分区 n 对象成 K 有数字的团体 [eq22] （请参阅标题为“ 隔断）， 反过来等于多项式系数 [eq23]因此，[eq24]哪一个 证明 X 和 [eq25] 有 相同的分布。

期望值

的 期望值 多项式随机向量 X 是[eq26]哪里 的 Kx1 向量 p 被定义为 如下：[eq27]

证明

使用 事实 X 可以写为 n 带参数的多重变量 [eq28], 我们 获得[eq29]哪里 [eq30] 是Multinoulli随机变量的期望值。

协方差矩阵

的 协方差矩阵 多项式随机数 向量 X 是[eq31]哪里 西格玛 是一个 $ Kimes K $ 通用条目的矩阵 是[eq32]

证明

以来 X 可以表示为 n 具有参数的独立Multinoulli随机变量 [eq33], 我们 获得[eq34]

关节力矩产生功能

的 关节力矩产生功能 的 多项式随机向量 X 为任何定义 $锡U {211d} ^ {K} $:[eq35]

证明

以来 X 可以写为 n 具有参数的独立Multinoulli随机向量 [eq36], 关节力矩产生函数 X 源自 要求：[eq37]

联合特征函数

的 联合特征 功能 的 X 是[eq38]

证明

的 推导类似于联合矩产生的推导 功能（请参阅 以上）：[eq39]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

一家销售两个标有A和B的商品的商店需要建立真人在线斗地主 接下来的10个客户将产生的销售模型。每一次 一位顾客到来时，只有三种结果可能：1）什么也没有卖出去； 2） 卖出了一个单位的项目A； 3）售出一单位的B项目。它一直 估计这三个结果的真人在线斗地主分别为0.50、0.25和 分别为0.25。此外，顾客的购物行为是 独立于所有其他客户的购物行为。表示为 X a $ 3imes 1 $ 其条目的向量 $ X_ {1}，$ X_2 和 $ X_ {3} $ 等于三个结果中每个结果发生的次数。派生 期望值和协方差矩阵 X.

解

向量 X 具有多项式分布 参数[eq40]和 $n=10$. 因此，其期望值 是[eq41]和 它的协方差矩阵 是[eq42]

练习2

根据上一个练习中的假设，假设项目A的成本 $ 1,000和项目B的费用$ 2,000。推导期望值和方差 10个客户产生的总收入。

解

总收入 Y 可以写成向量的线性变换 X:[eq43]哪里[eq44]通过 期望值算子的线性，我们 获得[eq45]通过 使用线性变换协方差矩阵的公式，我们 获得[eq46]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "多项式分布", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multinomial-distribution.

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