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多项式分布

通过 博士

多项式分布是对 二项分布.

如果你表演 n 一次只能产生两个结果的实验​​(成功或失败) 失败),那么您获得两个结果之一的次数 (成功)是一个二项式随机变量。

如果你表演 n 一次可以进行的实验 K 结果 (K 可以是任何自然数),并用 X_i 您获得的次数 i-th 结果,然后是随机向量 X 定义的 如 [eq1]是 多项式随机向量。

多项式分布可以看作是相互独立的总和 Multinoulli随机变量。多项式和 其余部分将详细说明Multinoulli分布 讲座,将用于演示多项式的几个属性 分配。因此,强烈建议您阅读讲座 有资格 Multinoulli 分配 在阅读以下各节之前。

目录

定义

多项式随机向量的特征如下。

定义X 成为 Kx1 离散随机向量. 让 $ nin U {2115} $. 让 支持X 成为 Kx1 向量具有非负整数项的总和 n:[eq2]$ p_ {1} $, ..., $ p_ {K} $K 严格的正数,例如 那[eq3]我们 比如说 X 有一个 多项式分布 有真人在线斗地主 $ p_ {1} $, ..., $ p_ {K} $ 和试验次数 n, 如果它是 联合 真人在线斗地主质量函数[eq4]哪里 [eq5] 是个 多项式系数.

表示为Multinoulli随机向量的总和

多项式和Multinoulli分布之间的联系是 由以下命题说明。

主张 如果是随机变量 X 具有真人在线斗地主的多项式分布 $ p_ {1} $, ..., $ p_ {K} $ 和试验次数 $n=1$, 那么它具有真人在线斗地主的Multinoulli分布 $ p_ {1} $, ..., $ p_ {K} $.

证明

的支持 X[eq6] 及其联合真人在线斗地主质量函数 是[eq7][eq8]因为, 每个 $ i = 1,ldots,K $, 要么 $ x_ {i} = 0 $ 要么 $ x_ {i} = 1,$[eq9]. 作为一个 后果,[eq10]哪一个 是Multinoulli分布的联合真人在线斗地主质量函数。

主张 随机向量 X 具有参数的多项式分布 [eq11]n 可以写 如 [eq12]哪里 [eq13]n 独立的随机向量都具有Multinoulli分布 参数 [eq14].

证明

总和 [eq15] 等于向量 [eq16] 什么时候[eq17]提供 $ x_ {i} geq 0 $ 每个 i[eq18], 向量有几种不同的实现 [eq19] 满足这些条件。以来 [eq20] 是Multinoulli变量,每个实现都有 可能性[eq21](看到 也是先前命题的证明)。此外,数量 满足以上条件的实现等于 的分区 n 对象成 K 有数字的团体 [eq22] (请参阅标题为“ 隔断), 反过来等于多项式系数 [eq23]因此,[eq24]哪一个 证明 X[eq25] 有 相同的分布。

期望值

期望值 多项式随机向量 X[eq26]哪里 的 Kx1 向量 p 被定义为 如下:[eq27]

证明

使用 事实 X 可以写为 n 带参数的多重变量 [eq28], 我们 获得[eq29]哪里 [eq30] 是Multinoulli随机变量的期望值。

协方差矩阵

协方差矩阵 多项式随机数 向量 X[eq31]哪里 西格玛 是一个 $ Kimes K $ 通用条目的矩阵 是[eq32]

证明

以来 X 可以表示为 n 具有参数的独立Multinoulli随机变量 [eq33], 我们 获得[eq34]

关节力矩产生功能

关节力矩产生功能 的 多项式随机向量 X 为任何定义 $锡U {211d} ^ {K} $:[eq35]

证明

以来 X 可以写为 n 具有参数的独立Multinoulli随机向量 [eq36], 关节力矩产生函数 X 源自 要求:[eq37]

联合特征函数

联合特征 功能X[eq38]

证明

的 推导类似于联合矩产生的推导 功能(请参阅 以上):[eq39]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

一家销售两个标有A和B的商品的商店需要建立真人在线斗地主 接下来的10个客户将产生的销售模型。每一次 一位顾客到来时,只有三种结果可能:1)什么也没有卖出去; 2) 卖出了一个单位的项目A; 3)售出一单位的B项目。它一直 估计这三个结果的真人在线斗地主分别为0.50、0.25和 分别为0.25。此外,顾客的购物行为是 独立于所有其他客户的购物行为。表示为 X a $ 3imes 1 $ 其条目的向量 $ X_ {1},$ X_2$ X_ {3} $ 等于三个结果中每个结果发生的次数。派生 期望值和协方差矩阵 X.

向量 X 具有多项式分布 参数[eq40]$n=10$. 因此,其期望值 是[eq41]和 它的协方差矩阵 是[eq42]

练习2

根据上一个练习中的假设,假设项目A的成本 $ 1,000和项目B的费用$ 2,000。推导期望值和方差 10个客户产生的总收入。

总收入 Y 可以写成向量的线性变换 X:[eq43]哪里[eq44]通过 期望值算子的线性,我们 获得[eq45]通过 使用线性变换协方差矩阵的公式,我们 获得[eq46]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "多项式分布", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multinomial-distribution.

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