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多元分布

通过 博士

Multinoulli分布(有时也称为分类分布) 是对 贝努利 分配。如果您进行的实验只有两个结果 (成功或失败),然后是一个随机变量,其值应为1 成功的值,失败时的值为0是伯努利随机变量。如果 您执行的实验可以 K 结果,您用 $ X_ {i} $ 如果您获得了一个随机变量,其值为1 i-th 结果,否则为0,则为随机向量 X 定义的 如 [eq1]是 Multinoulli随机向量。换句话说,当 i-th 获得结果, i-th Multinoulli随机向量的输入 X 重视价值 1, 而所有其他条目都有价值 0.

随之而来的概率 K 可能的结果将用 [eq2].

目录

定义

该分布的特征如下。

定义X 成为 Kx1 离散随机向量. 让 支持X 成为 Kx1 向量的一项等于 1 而所有其他条目等于 0:[eq3]$ p_ {1} $, ..., $ p_ {K} $K 严格的正数,例如 那[eq4]我们 比如说 X 有一个 多元分布 有概率 $ p_ {1} $, ..., $ p_ {K} $ 如果它是 联合 概率质量函数[eq5]

如果您对联合pmf的上述定义感到困惑,请注意,当 [eq6]$ x_ {i} = 1 $ 因为 i-th 已经获得结果,则所有其他条目等于 0[eq7]

期望值

期望值X[eq8]哪里 的 Kx1 向量 p 被定义为 如下:[eq9]

证明

i-th 进入 X, 表示为 X_i, 是一个 指标功能 事件的“ i-th 结果发生了。”因此,其期望值等于 事件发生的概率 表示:[eq10]

协方差矩阵

的协方差矩阵 X[eq11]哪里 西格玛 是一个 $ Kimes K $ 通用条目的矩阵 是[eq12]

证明

我们 需要使用公式(请参阅标题为“ 协方差 矩阵):[eq13]如果 $ j = i $, 然后[eq14]哪里 我们使用了这样一个事实 $ X_ {i} ^ {2} = X_ {i} $ 因为 X_i 只能取值 01. 如果 $j
eq i$, 然后[eq15]哪里 我们使用了这样一个事实 $ X_ {i} X_ {j} = 0 $, 因为 X_i$ X_ {j} $ 不能都等于 1 同时。

关节力矩产生功能

关节力矩产生功能X 为任何定义 $锡U {211d} ^ {K} $:[eq16]

证明

如果 的 $ j $-th 得到结果,然后 $ X_ {i} = 0 $ 对于 $i
eq j$$ X_ {i} = 1 $ 对于 $ i = j $. 作为一个 后果,[eq17]和 关节力矩产生功能 是[eq18]

联合特征函数

联合特征 功能X[eq19]

证明

如果 的 $ j $-th 得到结果,然后 $ X_ {i} = 0 $ 对于 $i
eq j$$ X_ {i} = 1 $ 对于 $ i = j $. 作为一个 后果,[eq20]和 联合特征函数 是[eq21]

更多细节

以下各节包含有关Multinoulli的更多详细信息 分配。

Multinoulli与 多项式分布

独立的Multinoulli随机变量的总和是多项式随机 变量。在名为“ 多项式 分配.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "多元分布", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multinoulli-distribution.

这本书

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