Multinoulli分布（有时也称为分类分布）
是对 贝努利
分配。如果您进行的实验只有两个结果
（成功或失败），然后是一个随机变量，其值应为1
成功的值，失败时的值为0是伯努利随机变量。如果
您执行的实验可以
结果，您用
如果您获得了一个随机变量，其值为1
-th
结果，否则为0，则为随机向量
定义的
如 是
Multinoulli随机向量。换句话说，当
-th
获得结果，
-th
Multinoulli随机向量的输入
重视价值
,
而所有其他条目都有价值
.
随之而来的概率
可能的结果将用
.
该分布的特征如下。
定义
让
成为
离散随机向量.
让 支持 的
成为
向量的一项等于
而所有其他条目等于
:![[eq3]](/images/multinoulli-distribution__19.png)
让
,
...，
是
严格的正数，例如
那我们
比如说
有一个 多元分布 有概率
,
...，
如果它是 联合
概率质量函数
是![[eq5]](/images/multinoulli-distribution__27.png)
如果您对联合pmf的上述定义感到困惑，请注意，当
和
因为
-th
已经获得结果，则所有其他条目等于
和![[eq7]](/images/multinoulli-distribution__32.png)
的 期望值 的
是哪里
的
向量
被定义为
如下：
的
-th
进入
,
表示为
,
是一个 指标功能 事件的“
-th
结果发生了。”因此，其期望值等于
事件发生的概率
表示：
的协方差矩阵
是哪里
是一个
通用条目的矩阵
是![[eq12]](/images/multinoulli-distribution__47.png)
我们
需要使用公式（请参阅标题为“
协方差
矩阵）：![[eq13]](/images/multinoulli-distribution__48.png)
如果
,
然后哪里
我们使用了这样一个事实
因为
只能取值
和
.
如果
,
然后哪里
我们使用了这样一个事实
,
因为
和
不能都等于
同时。
的 关节力矩产生功能 的
为任何定义
:
如果
的
-th
得到结果，然后
对于
和
对于
.
作为一个
后果，![[eq17]](/images/multinoulli-distribution__69.png)
和
关节力矩产生功能
是![[eq18]](/images/multinoulli-distribution__70.png)
的 联合特征
功能 的
是
如果
的
-th
得到结果，然后
对于
和
对于
.
作为一个
后果，![[eq20]](/images/multinoulli-distribution__78.png)
和
联合特征函数
是![[eq21]](/images/multinoulli-distribution__79.png)
以下各节包含有关Multinoulli的更多详细信息 分配。
独立的Multinoulli随机变量的总和是多项式随机 变量。在名为“ 多项式 分配.
请引用为：
Taboga, Marco (2017). "多元分布", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multinoulli-distribution.
