Multinoulli分布（有时也称为分类分发）
是概括的 Bernoulli
distribution。如果您执行只有两种结果的实验
（成功或失败），然后是一个随机变量，在情况下取值1
在失败的情况下，成功和值0是伯努利随机变量。如果
你执行一个可以拥有的实验
结果，你表示
如果获得值1，则需要值1的随机变量
-
结果和0否则，然后随机向量
defined
as是
多重oulli随机向量。换句话说，当
-
获得结果，是
-
进入multinoulli随机向量
takes value
,
虽然所有其他条目都有价值
.
在遵循的概率中
可能的结果将被表示为
.
分布的特征如下。
定义
Let
be a
离散随机向量.
Let the support of
be the set of
有一个进入的载体等于
所有其他条目等于
:![[eq3]](/images/multinoulli-distribution__19.png)
让
,
...,
be
严格的积极数字
that我们
say that
has a Multinoulli分布 with probabilities
,
...,
if its joint
概率质量功能
is![[eq5]](/images/multinoulli-distribution__27.png)
如果您对联合PMF的上述定义感到困惑，请注意何时
and
because the
-
已经获得了结果，那么所有其他条目都等于
and![[eq7]](/images/multinoulli-distribution__32.png)
The expected value of
is在哪里
the
vector
is defined as
follows:
这
-
entry of
,
denoted by
,
is an indicator function 的 the event "这
-
结果发生了“。因此，其预期值等于
事件的可能性
indicates:
协方差矩阵
is在哪里
is a
矩阵常规条目
is![[eq12]](/images/multinoulli-distribution__47.png)
我们
需要使用公式（请参阅题为有权的讲座
Covariance
matrix）：![[eq13]](/images/multinoulli-distribution__48.png)
如果
,
then在哪里
我们已经使用了这个事实
because
can take only values
and
.
If
,
then在哪里
我们已经使用了这个事实
,
because
and
不能等于
at the same time.
The 联合力矩产生功能 of
is defined for any
:
如果
the
-
然后获得结果
for
and
for
.
As a
consequence,![[eq17]](/images/multinoulli-distribution__69.png)
和
联合力矩产生功能
is![[eq18]](/images/multinoulli-distribution__70.png)
The 联合的 characteristic
function of
is
如果
the
-
然后获得结果
for
and
for
.
As a
consequence,![[eq20]](/images/multinoulli-distribution__78.png)
和
联合特征功能
is![[eq21]](/images/multinoulli-distribution__79.png)
以下部分包含有关Multinoulli的更多详细信息 distribution.
独立的多重随机变量的总和是多项式随机 多变的。这是讨论并证明了题为题为的讲座 Multinomial distribution.
请引用：
Taboga, Marco (2017). "Multinoulli分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multinoulli-distribution.
