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多元正态分布

通过 博士

多元正态（MV-N）分布是多元概括 一维的 正态分布。在其 最简单的形式，称为“标准” MV-N分布，它描述了 条目相互之间是一个真人在线斗地主向量的联合分布 独立的单变量正态真人在线斗地主变量，均具有零均值和单位 方差。它以一般形式描述了真人在线斗地主的联合分布 可以表示为标准MV-N的线性变换的向量 向量。

认为任何一组正常真人在线斗地主变量 一起考虑，形成多元正态分布。这不是 案件。实际上，可以构建不是MV-N的真人在线斗地主向量， 但其各个元素具有正态分布。后一个事实是 在理论上非常著名 科普莱 （一种理论，该理论允许首先指定真人在线斗地主向量的分布 指定其成分的分布，然后链接单变量 通过称为copula的函数进行分布）。

本讲座的其余部分说明了 多元正态分布，首先处理“标准”情况， 然后是更一般的情况。

目录

目录

  1. 标准多元正态分布

    1. 定义

    2. 与单变量正态分布的关系

    3. 期望值

    4. 协方差矩阵

    5. 关节力矩产生功能

    6. 联合特征函数

  2. 一般的多元正态分布

    1. 定义

    2. 标准与一般之间的关系

    3. 期望值

    4. 协方差矩阵

    5. 关节力矩产生功能

    6. 联合特征函数

  3. 更多细节

    1. 单变量正态作为特殊情况

    2. 相互独立的正态真人在线斗地主变量共同为正态

  4. 阅读更多

  5. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

标准多元正态分布

形容词“标准”用于表示分布的均值 等于零，并且其协方差矩阵等于恒等矩阵。

定义

标准MV-N真人在线斗地主向量的特征如下。

定义 让 X 成为 Kx1 连续真人在线斗地主 向量。让它 支持 被设置 的 K尺寸 真实 向量：[eq1]我们 比如说 X 有一个 标准多元正态分布 如果它是 联合概率 密度函数 是[eq2]

与单变量正态分布的关系

表示 i-th 的组成部分 x 通过 $ x_ {i} $. 联合概率密度函数可以写成 如 [eq3]哪里 [eq4] 是a的概率密度函数 标准正常真人在线斗地主 变量:[eq5]

因此， K 的组成部分 X 是 K 相互独立 标准正常真人在线斗地主 变量（以下是更详细的证明）。

证明

如我们所见， 联合概率密度函数可以写成 如 [eq6]哪里 [eq4] 是标准正态真人在线斗地主数的概率密度函数 变量：[eq5]但 [eq4] 也是 边缘 概率密度函数 的 i-th 的组成部分 X:[eq10]因此， 的联合概率密度函数 X 等于其边际的乘积，这意味着 X 彼此独立。

期望值

的 期望值 MV-N真人在线斗地主向量的形式 X 是[eq11]

证明

所有 的组成部分 X 是标准正态真人在线斗地主变量，而标准正态真人在线斗地主变量具有 意思 0.

协方差矩阵

的 协方差矩阵 标准MV-N真人在线斗地主数 向量 X 是[eq12]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵，即 $ Kimes K $ 对角线元素等于1并且非对角线入口的矩阵 等于 0.

证明

这是通过使用 协方差 矩阵：[eq13]哪里 X_i 是个 i-th 的组成部分 X. 由于组成 X 都是标准的正常真人在线斗地主变量，它们的方差都等于 $1 $, 即[eq14]此外， 由于组成 X 相互独立，独立意味着零协方差，所有 协方差等于 0, 即[eq15]因此，[eq16]

关节力矩产生功能

的 关节力矩产生功能 的 标准MV-N真人在线斗地主向量 X 为任何定义 $锡U {211d} ^ {K} $:[eq17]

证明

的 K 的组成部分 X 是 K 相互独立的标准正态真人在线斗地主变量（请参见上文）。作为一个 结果， X 可以导出为 如下：[eq18]哪里 我们使用了真人在线斗地主矩产生函数的定义 变量和事实的组成部分 X 彼此独立。自从力矩产生功能成为标准 正常真人在线斗地主变量 是[eq19]的 的联合mgf X 是[eq20]注意 那mgf [eq21] 定义标准正态真人在线斗地主变量的 $ t_ {i} in U {211d} $. 结果， X 为任何定义 $锡U {211d} ^ {K} $.

联合特征函数

的 联合特征 功能 MV-N真人在线斗地主向量的形式 X 是[eq22]

证明

的 K 的组成部分 X 是 K 相互独立的标准正态真人在线斗地主变量（请参见上文）。作为一个 结果，联合特征函数 X 可以导出为 如下：[eq23]哪里 我们使用了真人在线斗地主的联合特征函数的定义 变量和事实的组成部分 X 彼此独立。由于标准的特征功能 正常真人在线斗地主变量 是[eq24]然后 的联合特征函数 X 是[eq25]

一般的多元正态分布

在上一节中，我们将注意力集中在多变量上 具有零均值和单位协方差的正态分布，我们现在处理 一般情况。

定义

多元正态真人在线斗地主向量的特征如下。

定义 让 X 成为 Kx1 连续真人在线斗地主向量。让其支持为 K尺寸 真实 向量：[eq26]让 亩 成为 Kx1 向量和 V a $ Kimes K $ 对称正定矩阵。我们说 X 有一个 多元正态分布 刻薄 亩 和 协方差 V 如果其联合概率密度函数 是[eq27]

我们指出 X 具有多元正态分布，均值 亩 和协方差 V 通过[eq28]

的 K 真人在线斗地主变量 [eq29] 构成向量 X 据说是 共同正常.

标准与一般之间的关系

具有MV-N分布且均值的真人在线斗地主向量 亩 和协方差 $ V $ 只是“标准” MV-N向量的线性函数：

主张 让 X 成为 Kx1 具有MV-N分布且均值的真人在线斗地主向量 亩 和协方差 V. 然后，[eq30]哪里 Z 是标准的MV-N Kx1 向量和 西格玛 是一个 $ Kimes K $ 可逆矩阵使得 [eq31].

证明

使用以下公式可以证明这一点： 的线性函数的关节密度 连续真人在线斗地主向量 ([eq32] 是线性的一对一映射，因为 西格玛 是 可逆）：[eq33]的 矩阵的存在 西格玛 满意的 [eq34] 由以下事实保证 V 是对称且正定的

期望值

MV-N真人在线斗地主向量的期望值 X 是[eq35]

证明

这个 是以下事实的直接后果： $ X = 亩 + 西格玛 Z $ （哪里 Z 具有多元标准正态分布）和 预期 值：[eq36]

协方差矩阵

MV-N真人在线斗地主向量的协方差矩阵 X 是[eq37]

证明

这个 是以下事实的直接后果： $ X = 亩 + 西格玛 Z $ （哪里 Z 具有多元标准正态分布）和 除常数向量 和 乘以常数矩阵 属性 协方差 矩阵：[eq38]

关节力矩产生功能

MV-N真人在线斗地主向量的联合矩生成函数 X 为任何定义 $锡U {211d} ^ {K} $:[eq39]

证明

这个 是以下事实的直接后果： $ X = 亩 + 西格玛 Z $ （哪里 Z 具有多元标准正态分布 西格玛 是一个 $ Kimes K $ 可逆矩阵使得 [eq40]) 以及推导线性联合mgf的规则 转型：[eq41]

联合特征函数

MV-N真人在线斗地主向量的联合特征函数 X 是[eq42]

证明

这个 是以下事实的直接后果： $ X = 亩 + 西格玛 Z $ （哪里 Z 具有多元标准正态分布 西格玛 是一个 $ Kimes K $ 可逆矩阵使得 [eq40]) 以及推导线性联合特征函数的规则 转型：[eq44]

更多细节

以下各节包含有关MV-N分发的更多详细信息。

单变量正态作为特殊情况

单变量正态分布只是多元的一种特殊情况 正态分布：设置 $K=1$ 多元正态分布的联合密度函数之一 获得单变量正态分布的密度函数（请记住 行列式和标量的转置等于标量 本身）。

相互独立的正常 真人在线斗地主变量共同正常

让 [eq45] 是 K 相互独立的真人在线斗地主变量均具有正态分布。表示 通过 $ 亩 _ {i} $ 的平均值 X_i 和 $ sigma _ {i} ^ {2} $ 它的方差。然后 Kx1 真人在线斗地主向量 X 定义的 如 [eq46]具有 均值的多元正态分布 [eq47]和 协方差矩阵 [eq48]

这可以通过证明概率密度的乘积来证明 的功能 [eq49] 等于的联合概率密度函数 X （这留作练习）。

阅读更多

以下讲座包含有关多元正态的更多材料 分配。

正态变量的线性组合

讨论MV-N真人在线斗地主向量的线性变换也是MV-N的事实

分区多元正态分布

讨论有关MV-N向量分割的一些事实

涉及正态变量的二次形式

讨论涉及MV-N向量的二次形式的分布

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 [eq50] 是具有均值的多元正态真人在线斗地主向量 [eq51]和 协方差 矩阵[eq52]证明 那真人在线斗地主 变量[eq53]具有 正态分布，均值等于 $3$ 和方差等于 $7$.

提示：使用关节力矩生成功能 X 及其属性。

解

真人在线斗地主变量 Y 可以写 如 [eq54]哪里 [eq55]

使用公式计算 共同时刻 向量的线性变换的生成函数 [eq56]和 多元正态向量的mgf的事实 X 是 [eq57]我们 获得 [eq58]哪里， 在最后一步中，我们还使用了以下事实： $ t $ 是标量，因为 Y 是一维的。 现在[eq59]和[eq60]堵塞 刚获得的公式的mgf值 Y, 我们 得到[eq61]但 这是具有均值的正常真人在线斗地主变量的矩生成函数 等于 $3$ 和方差等于 $7$ （请参阅标题为“ 正态分布）。 因此， Y 是平均值等于的正常真人在线斗地主变量 $3$ 和方差等于 $7$ （请记住，发行版完全由其时刻来表征 生成函数）。

练习2

让 [eq62] 是具有均值的多元正态真人在线斗地主向量 [eq63]和 协方差 矩阵[eq64]使用 关节力矩产生函数 X, 得出 交叉时刻[eq65]

解

的联合mgf X 是 [eq66]的 我们要计算的三阶交叉矩等于第三部分 mgf的导数，在 零：[eq67]的 偏导数 是[eq68]

从而，[eq69]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "多元正态分布", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multivariate-normal-distribution.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。

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