多元正态(MV-N)分布是多元概括 一维的 正态分布。在其 最简单的形式,称为“标准” MV-N分布,它描述了 条目相互之间是一个真人在线斗地主向量的联合分布 独立的单变量正态真人在线斗地主变量,均具有零均值和单位 方差。它以一般形式描述了真人在线斗地主的联合分布 可以表示为标准MV-N的线性变换的向量 向量。
认为任何一组正常真人在线斗地主变量 一起考虑,形成多元正态分布。这不是 案件。实际上,可以构建不是MV-N的真人在线斗地主向量, 但其各个元素具有正态分布。后一个事实是 在理论上非常著名 科普莱 (一种理论,该理论允许首先指定真人在线斗地主向量的分布 指定其成分的分布,然后链接单变量 通过称为copula的函数进行分布)。
本讲座的其余部分说明了 多元正态分布,首先处理“标准”情况, 然后是更一般的情况。
形容词“标准”用于表示分布的均值 等于零,并且其协方差矩阵等于恒等矩阵。
标准MV-N真人在线斗地主向量的特征如下。
定义
让
成为
连续真人在线斗地主
向量。让它
支持 被设置
的
尺寸
真实
向量:
我们
比如说
有一个 标准多元正态分布 如果它是
联合概率
密度函数
是
表示
-th
的组成部分
通过
.
联合概率密度函数可以写成
如
哪里
是a的概率密度函数
标准正常真人在线斗地主
变量:
因此,
的组成部分
是
相互独立 标准正常真人在线斗地主
变量(以下是更详细的证明)。
如我们所见,
联合概率密度函数可以写成
如 哪里
是标准正态真人在线斗地主数的概率密度函数
变量:
但
也是
边缘
概率密度函数 的
-th
的组成部分
:
因此,
的联合概率密度函数
等于其边际的乘积,这意味着
彼此独立。
的 期望值 MV-N真人在线斗地主向量的形式
是
所有
的组成部分
是标准正态真人在线斗地主变量,而标准正态真人在线斗地主变量具有
意思
.
的 协方差矩阵 标准MV-N真人在线斗地主数
向量
是
哪里
是个
单位矩阵,即
对角线元素等于1并且非对角线入口的矩阵
等于
.
这是通过使用
协方差
矩阵:哪里
是个
-th
的组成部分
.
由于组成
都是标准的正常真人在线斗地主变量,它们的方差都等于
,
即
此外,
由于组成
相互独立,独立意味着零协方差,所有
协方差等于
,
即
因此,
的 关节力矩产生功能 的
标准MV-N真人在线斗地主向量
为任何定义
:
的
的组成部分
是
相互独立的标准正态真人在线斗地主变量(请参见上文)。作为一个
结果,
可以导出为
如下:
哪里
我们使用了真人在线斗地主矩产生函数的定义
变量和事实的组成部分
彼此独立。自从力矩产生功能成为标准
正常真人在线斗地主变量
是
的
的联合mgf
是
注意
那mgf
定义标准正态真人在线斗地主变量的
.
结果,
为任何定义
.
的 联合特征
功能 MV-N真人在线斗地主向量的形式
是
的
的组成部分
是
相互独立的标准正态真人在线斗地主变量(请参见上文)。作为一个
结果,联合特征函数
可以导出为
如下:
哪里
我们使用了真人在线斗地主的联合特征函数的定义
变量和事实的组成部分
彼此独立。由于标准的特征功能
正常真人在线斗地主变量
是
然后
的联合特征函数
是
在上一节中,我们将注意力集中在多变量上 具有零均值和单位协方差的正态分布,我们现在处理 一般情况。
多元正态真人在线斗地主向量的特征如下。
我们指出
具有多元正态分布,均值
和协方差
通过
的
真人在线斗地主变量
构成向量
据说是 共同正常.
具有MV-N分布且均值的真人在线斗地主向量
和协方差
只是“标准” MV-N向量的线性函数:
主张
让
成为
具有MV-N分布且均值的真人在线斗地主向量
和协方差
.
然后,
哪里
是标准的MV-N
向量和
是一个
可逆矩阵使得
.
使用以下公式可以证明这一点:
的线性函数的关节密度
连续真人在线斗地主向量
(
是线性的一对一映射,因为
是
可逆):
的
矩阵的存在
满意的
由以下事实保证
是对称且正定的
MV-N真人在线斗地主向量的期望值
是
这个
是以下事实的直接后果:
(哪里
具有多元标准正态分布)和
预期
值:
MV-N真人在线斗地主向量的协方差矩阵
是
MV-N真人在线斗地主向量的联合矩生成函数
为任何定义
:
这个
是以下事实的直接后果:
(哪里
具有多元标准正态分布
是一个
可逆矩阵使得
)
以及推导线性联合mgf的规则
转型:
MV-N真人在线斗地主向量的联合特征函数
是
这个
是以下事实的直接后果:
(哪里
具有多元标准正态分布
是一个
可逆矩阵使得
)
以及推导线性联合特征函数的规则
转型:
以下各节包含有关MV-N分发的更多详细信息。
单变量正态分布只是多元的一种特殊情况
正态分布:设置
多元正态分布的联合密度函数之一
获得单变量正态分布的密度函数(请记住
行列式和标量的转置等于标量
本身)。
让
是
相互独立的真人在线斗地主变量均具有正态分布。表示
通过
的平均值
和
它的方差。然后
真人在线斗地主向量
定义的
如
具有
均值的多元正态分布
和
协方差矩阵
这可以通过证明概率密度的乘积来证明
的功能
等于的联合概率密度函数
(这留作练习)。
以下讲座包含有关多元正态的更多材料 分配。
讨论涉及MV-N向量的二次形式的分布
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是具有均值的多元正态真人在线斗地主向量
和
协方差
矩阵
证明
那真人在线斗地主
变量
具有
正态分布,均值等于
和方差等于
.
提示:使用关节力矩生成功能
及其属性。
真人在线斗地主变量
可以写
如
哪里
使用公式计算 共同时刻
向量的线性变换的生成函数
和
多元正态向量的mgf的事实
是
我们
获得
哪里,
在最后一步中,我们还使用了以下事实:
是标量,因为
是一维的。
现在
和
堵塞
刚获得的公式的mgf值
,
我们
得到
但
这是具有均值的正常真人在线斗地主变量的矩生成函数
等于
和方差等于
(请参阅标题为“ 正态分布)。
因此,
是平均值等于的正常真人在线斗地主变量
和方差等于
(请记住,发行版完全由其时刻来表征
生成函数)。
让
是具有均值的多元正态真人在线斗地主向量
和
协方差
矩阵
使用
关节力矩产生函数
,
得出
交叉时刻
的联合mgf
是
的
我们要计算的三阶交叉矩等于第三部分
mgf的导数,在
零:
的
偏导数
是
从而,
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "多元正态分布", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multivariate-normal-distribution.