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多元正态分布-分割向量

通过 博士

X 成为 Kx1 多元正态随机向量 意思 亩 协方差矩阵 V. 在本讲座中,我们介绍一些有关分区的有用事实 X, 也就是说,关于 X 分为两个子向量 $ X_ {a} $$ X_ {b} $ 这样 那[eq1]哪里 $ X_ {a} $$ X_ {b} $ 有尺寸 $ K_ {a} imes $ 1$ K_ {b} imes $ 1 分别和 $ K_ {a} + K_ {b} = K $.

目录

符号

在下文中,我们将用以下方式表示:

给定这种表示法,它遵循 那[eq7][eq8]

子向量的正态性

以下命题陈述了关于两者的第一个(琐碎的)事实 子向量。

主张$ X_ {a} $$ X_ {b} $ 具有多元正态分布 即[eq9]

证明

随机向量 $ X_ {a} $ 可以写成 X:[eq10]哪里 A 是一个 $ K_ {a} ime K $ 条目为零或一的矩阵。从而, $ X_ {a} $ 具有多元正态分布,因为它是线性变换 多元正态随机向量 X 多元正态性通过线性变换得以保留(请参见 演讲题目 线性的 正常随机变量的组合)。同样, $ X_ {b} $ 具有多元正态分布,因为它可以写为线性 改造 X:[eq11]哪里 $ B $ 是一个 $ K_ {b} ime K $ 条目为零或一的矩阵。

当然,这意味着 X 是多元正态时 X 是多元正态的。

子向量的独立性

以下命题指出了 两个子向量的独立性。

主张 $ X_ {a} $$ X_ {b} $ 是独立的,当且仅当 $ V_ {ab} = 0 $.

证明

$ X_ {a} $$ X_ {b} $ 当且仅当它们的共同力矩产生函数相等时才是独立的 其各自的力矩生成函数的乘积(请参见 演讲题目 联合力矩产生 功能)。以来 $ X_ {a} $ 是多元正态,其联合矩产生函数 是[eq12]的 关节力矩产生函数 $ X_ {b} $[eq13]的 关节力矩产生函数 $ X_ {a} $$ X_ {b} $, 这只是关节力矩的产生函数 X, 是[eq14]从 很明显 [eq15] 当且仅当 $ V_ {ab} = 0 $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "多元正态分布-分割向量", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multivariate-normal-distribution-partitioning.

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