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多元学生t分布

通过 博士

多元(MV)学生的t分布是多元的 一维学生t分布的一般化。

回想一下,随机变量具有 标准单变量 学生的t分布 如果可以表示为 标准正态随机变量和Gamma随机变量的平方根 变量。

类似地,如果随机向量具有标准MV Student的t分布 可以表示为标准MV正常随机向量与 伽玛随机变量的平方根。引入了这种“标准”情况 在下一节中,而下一节将介绍更一般的内容 从线性获得随机向量的情况 MV学生的t随机向量的变换。

目录

标准多元学生t分布

本节介绍了较简单但较不通用的“标准”情况。

定义

标准多元学生t随机向量的特征如下。

定义 X 成为 Kx1 连续随机 向量。让它 支持 被设置 的 K尺寸 真实 向量:[eq1][eq2]. 我们说 X 有一个 标准多元学生t分布n 度数 自由的话 联合概率 密度函数[eq3]哪里[eq4][eq5] 是个 伽玛功能.

与单变量学生t分布的关系

什么时候 $K=1$, 标准多元学生t分布的定义符合 与标准单变量学生t分布的定义。

证明

这证明为 如下:[eq6]的 后者是标准单变量Student's的概率密度函数 t分布。

与Gamma和多元正态分布的关系

标准多元学生t随机向量可以写成 多元正态向量,其协方差矩阵由倒数缩放 如以下命题所示。

命题(整体 表示) 的联合概率密度函数 X 可以写 如 [eq7]哪里:

  1. [eq8] 是a的联合概率密度函数 多元正态分布 刻薄 0 和协方差 $ frac {1} {z} I $ (哪里 I 是个 $ Kimes K $ 身份 矩阵):[eq9]哪里 [eq10]

  2. [eq11] 是a的概率密度函数 伽玛 随机变量 带参数 n$h=1$:[eq12]哪里[eq13]

证明

我们需要证明 那[eq14]哪里[eq15][eq16]我们 从被积函数开始: [eq17]哪里 [eq18][eq19] 是具有Gamma的随机变量的概率密度函数 带参数分布 $ n + K $[eq20]. 因此,[eq21]

边际

的任何一项的边际分布 X 是单变量标准学生t分布 n 自由程度。

证明

表示 i-th 的组成部分 X 通过 X_i. 的 边缘 概率密度函数 X_i 通过将联合概率密度函数关于 到的其他条目 X:[eq22]哪里[eq23]是 多元项的边际概率密度函数 均值的法向随机向量 0 和协方差 $ frac {1} {z} I $ 。这等于一个 正常随机 变量 刻薄 0 和方差 $ frac {1} {z} $:[eq24]因此, 我们有 那[eq25]但, 根据上述命题(整体表示),这意味着 X_i 的标准多元学生t分布为 n 自由程度。因此,它有一个标准的单变量学生t 与分布 n 自由度,因为两者在同一时间是同一件事 $K=1$.

期望值

期望值 标准多元数 学生的t随机向量 X 只有当 $n>1$ 和它 是[eq26]

证明

注意 那 [eq27] 如果 [eq28] 对所有人 K 组件 X_i. 但是边际分布 X_i 是标准的学生t分布 n 自由程度。因此, [eq29]提供 $n>1$.

协方差矩阵

协方差矩阵 标准多元数 学生的t随机向量 X 只有当 $n>2$ 和它 是[eq30]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵

证明

上面我们已经证明了 [eq27]. 这个 暗示[eq32]我们 也证明了 [eq33] 具有多元正态分布 意思[eq34]和 协方差 矩阵[eq35]如 a 后果,[eq36][eq37]哪里 [eq38] 已获得为 如下:[eq39]

一般情况下多元学生t分布

本节介绍一般情况。

定义

多元学生t随机向量的特征如下。

定义X 成为 Kx1 连续随机向量。让其支持为 K尺寸 真实 向量:[eq40]亩 成为 Kx1 向量, V a $ Kimes K $ 对称正定矩阵 [eq2]. 我们说 X 有一个 多元学生t分布 与 意思 亩, 规模 矩阵 Vn 度数 自由度,如果其联合概率密度函数 是[eq42]哪里[eq43]

我们指出 X 有多元学生t分布,均值 亩, 比例矩阵 Vn 自由程度 通过[eq44]

标准与一般之间的关系

如果 [eq45], 然后 X 是一个线性函数 标准学生t随机 向量.

主张[eq45]. 然后,[eq47]哪里 Z 是一个 Kx1 具有标准多元学生t分布的向量 n 自由度和 西格玛 是一个 $ Kimes K $ 可逆矩阵使得 [eq48].

证明

因为 西格玛 是可逆的,我们有 那[eq49]是 线性一对一映射。因此,我们可以将公式用于 的线性函数的关节密度 连续随机 向量:[eq50]的 矩阵的存在 西格玛 满意的 [eq51] 由以下事实保证 V 是对称且正定的

期望值

多元学生t随机向量的期望值 X[eq52]

证明

这个 是以下事实的直接后果: $ X = 亩 + 西格玛 Z $ (哪里 Z 具有标准的多变量学生t分布)和 预期的 值:[eq53]

协方差矩阵

多元学生t随机向量的协方差矩阵 X[eq54]

证明

这个 是以下事实的直接后果: $ X = 亩 + 西格玛 Z $ (哪里 Z 具有标准的多变量学生t分布)和 除常数向量 乘以常数矩阵 属性 协方差 矩阵:[eq55]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "多元学生t分布", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multivariate-student-t-distribution.

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