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多元学生t分布

通过 博士

多元（MV）学生的t分布是多元的 一维学生t分布的一般化。

回想一下，随机变量具有 标准单变量 学生的t分布 如果可以表示为 标准正态随机变量和Gamma随机变量的平方根 变量。

类似地，如果随机向量具有标准MV Student的t分布 可以表示为标准MV正常随机向量与 伽玛随机变量的平方根。引入了这种“标准”情况 在下一节中，而下一节将介绍更一般的内容 从线性获得随机向量的情况 MV学生的t随机向量的变换。

目录

目录

  1. 标准多元学生t分布

    1. 定义

    2. 与单变量学生t分布的关系

    3. 与Gamma和多元正态分布的关系

    4. 边际

    5. 期望值

    6. 协方差矩阵

  2. 一般情况下多元学生t分布

    1. 定义

    2. 标准与一般之间的关系

    3. 期望值

    4. 协方差矩阵

标准多元学生t分布

本节介绍了较简单但较不通用的“标准”情况。

定义

标准多元学生t随机向量的特征如下。

定义 让 X 成为 Kx1 连续随机 向量。让它 支持 被设置 的 K尺寸 真实 向量：[eq1]让 [eq2]. 我们说 X 有一个 标准多元学生t分布 与 n 度数 自由的话 联合概率 密度函数 是[eq3]哪里[eq4]和 [eq5] 是个 伽玛功能.

与单变量学生t分布的关系

什么时候 $K=1$, 标准多元学生t分布的定义符合 与标准单变量学生t分布的定义。

证明

这证明为 如下：[eq6]的 后者是标准单变量Student's的概率密度函数 t分布。

与Gamma和多元正态分布的关系

标准多元学生t随机向量可以写成 多元正态向量，其协方差矩阵由倒数缩放 如以下命题所示。

命题（整体 表示） 的联合概率密度函数 X 可以写 如 [eq7]哪里：

  1. [eq8] 是a的联合概率密度函数 多元正态分布 刻薄 0 和协方差 $ frac {1} {z} I $ （哪里 I 是个 $ Kimes K $ 身份 矩阵）：[eq9]哪里 [eq10]

  2. [eq11] 是a的概率密度函数 伽玛 随机变量 带参数 n 和 $h=1$:[eq12]哪里[eq13]

证明

我们需要证明 那[eq14]哪里[eq15]和[eq16]我们 从被积函数开始： [eq17]哪里 [eq18]和 [eq19] 是具有Gamma的随机变量的概率密度函数 带参数分布 $ n + K $ 和 [eq20]. 因此，[eq21]

边际

的任何一项的边际分布 X 是单变量标准学生t分布 n 自由程度。

证明

表示 i-th 的组成部分 X 通过 X_i. 的 边缘 概率密度函数 的 X_i 通过将联合概率密度函数关于 到的其他条目 X:[eq22]哪里[eq23]是 多元项的边际概率密度函数 均值的法向随机向量 0 和协方差 $ frac {1} {z} I $ 。这等于一个 正常随机 变量 刻薄 0 和方差 $ frac {1} {z} $:[eq24]因此， 我们有 那[eq25]但， 根据上述命题（整体表示），这意味着 X_i 的标准多元学生t分布为 n 自由程度。因此，它有一个标准的单变量学生t 与分布 n 自由度，因为两者在同一时间是同一件事 $K=1$.

期望值

的 期望值 标准多元数 学生的t随机向量 X 只有当 $n>1$ 和它 是[eq26]

证明

注意 那 [eq27] 如果 [eq28] 对所有人 K 组件 X_i. 但是边际分布 X_i 是标准的学生t分布 n 自由程度。因此， [eq29]提供 $n>1$.

协方差矩阵

的 协方差矩阵 标准多元数 学生的t随机向量 X 只有当 $n>2$ 和它 是[eq30]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵

证明

上面我们已经证明了 [eq27]. 这个 暗示[eq32]我们 也证明了 [eq33] 具有多元正态分布 意思[eq34]和 协方差 矩阵[eq35]如 a 后果，[eq36]和[eq37]哪里 [eq38] 已获得为 如下：[eq39]

一般情况下多元学生t分布

本节介绍一般情况。

定义

多元学生t随机向量的特征如下。

定义 让 X 成为 Kx1 连续随机向量。让其支持为 K尺寸 真实 向量：[eq40]让 亩 成为 Kx1 向量， V a $ Kimes K $ 对称正定矩阵 [eq2]. 我们说 X 有一个 多元学生t分布 与 意思 亩, 规模 矩阵 V 和 n 度数 自由度，如果其联合概率密度函数 是[eq42]哪里[eq43]

我们指出 X 有多元学生t分布，均值 亩, 比例矩阵 V 和 n 自由程度 通过[eq44]

标准与一般之间的关系

如果 [eq45], 然后 X 是一个线性函数 标准学生t随机 向量.

主张 让 [eq45]. 然后，[eq47]哪里 Z 是一个 Kx1 具有标准多元学生t分布的向量 n 自由度和 西格玛 是一个 $ Kimes K $ 可逆矩阵使得 [eq48].

证明

因为 西格玛 是可逆的，我们有 那[eq49]是 线性一对一映射。因此，我们可以将公式用于 的线性函数的关节密度 连续随机 向量:[eq50]的 矩阵的存在 西格玛 满意的 [eq51] 由以下事实保证 V 是对称且正定的

期望值

多元学生t随机向量的期望值 X 是[eq52]

证明

这个 是以下事实的直接后果： $ X = 亩 + 西格玛 Z $ （哪里 Z 具有标准的多变量学生t分布）和 预期的 值：[eq53]

协方差矩阵

多元学生t随机向量的协方差矩阵 X 是[eq54]

证明

这个 是以下事实的直接后果： $ X = 亩 + 西格玛 Z $ （哪里 Z 具有标准的多变量学生t分布）和 除常数向量 和 乘以常数矩阵 属性 协方差 矩阵：[eq55]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "多元学生t分布", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/multivariate-student-t-distribution.

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