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正常分布

经过 ,博士学位

正常分布是概率理论的基石之一和 statistics because

它通常被称为高斯分布,以纪念卡尔弗里德里希高斯 (1777-1855),一个杰出的德国数学家提供了重要贡献 为了更好地了解正态分布。

有时它也被称为“钟形分布”,因为 graph of its probability density function 类似于铃铛的形状。

曲线正常密度

正如您从上面的正态分布密度的剧情看, 密度围绕平均值(由垂直线表示)对称。作为 结果,与具有相同幅度相同的平均值的偏差 不同的迹象,具有相同的概率。

密度也非常集中在平均值周围并且变得非常小 通过从中心到左侧或分布右侧的移动( 所谓的“尾巴”的分配)。这意味着进一步的值是 从分布的中心,观察到这一点不太可能 value.

这次讲座的其余部分提供了主要的正式介绍 正态分布特征。首先,我们处理特殊的 分布具有零均值和单位方差的情况。然后我们 呈现常规情况,其中均值和方差可以采用任何值。

目录

标准正态分布

形容词“标准”表示平均值的特殊情况 为零,方差等于一个。

定义

标准正常随机变量的特征如下。

定义 X be a continuous random variable 。 让它 support be the whole set of real numbers:[eq1] 我们 say that X has a 标准正态分布 if and only if its 概率密度函数 is[eq2]

以下是证明 [eq3] is indeed a 合法概率密度 function:

证明

功能 [eq4] 如果它是非负的,如果是合法的概率密度函数 支持等于1.前财产是显而易见的,而且 后者可以证明 follows:[eq5]

期望值

The expected value 标准正常随机 variable X is[eq6]

证明

它 can be derived as follows:[eq7]

方差

The variance 标准正常随机变量 X is[eq8]

证明

它 可以用通常证明 方差 formula ([eq9] ): [eq10]

时刻产生功能

The 时刻产生功能 of a standard 正常随机变量 X is defined for any  T在R. :[eq11]

证明

它 通过使用时刻的定义来源的 function:[eq12] 这 上面积分是明确的和有限的  T在R. . 因此,那时发电机的瞬间 X exists for any  T在R. .

特征功能

The 特征功能 标准 normal random variable X is[eq13]

证明

经过 特征函数的定义,我们 have[eq14] 现在, 夺取衍生品  $ t $ 特征 function:[eq15] 经过 我们一起汇集了两种结果,我们 obtain[eq16] 这 只有满足这种普通微分方程的功能(受到影响 the condition [eq17]) is[eq18]

分配功能

没有简单的公式 分配功能 [eq19] 标准正常随机变量 X because the integral[eq20] 不能 以基本职能表示。因此,通常是 需要诉诸特殊表或计算机算法来计算 values of [eq21]. The lecture entitled Normal distribution values 详细讨论这些替代方案。

通常分布一般

在上一节中,我们将注意力限制在特殊情况下 零均值和单位方差,我们现在处理一般情况。

定义

正常分布与平均值  亩 and variance  西格玛^ 2. 其特点是如下。

定义 Let X 是一个连续的随机变量。让它的支持是整个真实的 numbers:[eq22]$ mu {211d} $ and [eq23]. We say that X has a 正常分布 with mean  亩 and variance  西格玛^ 2. 如果并且仅在其概率密度函数 is[eq24]

我们经常表明这一事实 X 具有平均值的正态分布  亩 and variance  西格玛^ 2. by[eq25]

更好地了解分配的形状取决于其 参数,你可以看看 density plots at 本页的底部。

标准和非标准正态分布之间的关系

以下命题提供标准与标准之间的链接 general case.

主张 If X 具有平均值的正态分布  亩 and variance  西格玛^ 2. , then[eq26] 在哪里 Z 是具有标准正态分布的随机变量。

证明

可以使用公式来容易证明这一点 for the 一个函数的密度 continuous variable ([eq27] 是一个严格越来越多的功能 Z, since  $ sigma $ is strictly positive):[eq28]

因此,正常分布是标准的  $ mu = 0 $ and $ sigma ^ {2} = 1 $.

期望值

正常随机变量的预期值 X is[eq29]

证明

这 证据是一个直接应用的事实 X 我们可以写成标准正常的线性函数 variable:[eq30]

方差

正常随机变量的方差 X is[eq31]

证明

它 can be derived as follows:[eq32]

时刻产生功能

正常随机变量的矩生成函数 X is defined for any  T在R. :[eq33]

证明

这 mgf is derived as follows:[eq34] 它 is defined for any  T在R. 因为时刻产生的功能 Z is defined for any  T在R. .

特征功能

正常随机变量的特征函数 X is[eq35]

证明

这 导出类似于生成的瞬间的推导 function:[eq36]

分配功能

分发功能 [eq37] 正常随机变量 X can be written as[eq38] 在哪里 [eq39] 是标准正常随机变量的分发功能 Z (看上面)。讲座题为 正常分布值 提供该公式的证据,并详细讨论。

密度图

本节显示了一些正常随机变量的密度的曲线。 这些绘图有助于我们了解分布的形状如何变化 改变其参数。

绘图1 - 改变平均值

以下绘图包含两个正常概率密度的图表 functions:

通过改变平均值  $ mu = 0 $ to  $ mu = 1 $ , 图形的形状不会改变,但图表被翻译成 右(它的位置变化)。

正常密度图1

绘图2 - 改变标准偏差

以下绘图显示了两个图:

通过增加标准偏差  $ sigma = 1 $ to  $ sigma = 2美元 , 图表的位置不会改变(它保持为中心 0 ), 但是图形的形状发生变化(中心的密度较少 尾部的密度更多)。

正常密度图2

更多细节

以下讲座含有更多关于正态分布的材料。

正常分布值

如何解决分布函数的数值计算

多变量正态分布

在统计数据中经常遇到正常分布的多变量概括

涉及正常变量的二次形式

讨论涉及正常随机变量的二次形式的分布

正常变量的线性组合

讨论了线性保留了正常性的重要事实 combinations

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X 是一个平均值的正常随机变量  $ mu = 3 $ and variance $ sigma ^ {2} = 4 $. 计算以下内容 probability:[eq40]

解决方案

首先,我们需要表达 以上概率在分布函数方面 X:[eq41]

然后,我们需要表达分发功能 X 就标准正常随机变量的分布函数而言 Z:[eq42]

因此,可以表达上述概率 as[eq43] 在哪里 我们已经使用了这个事实 [eq44], 已在题为讲座中提出的 正常分布值.

练习2

Let X 是一个随机变量,具有正常分布的平均值  $ mu = 1 $ and variance $ sigma ^ {2} = 16 $. 计算以下内容 probability:[eq45]

解决方案

我们需要使用相同的技术 上一项运动(在分布方面表达概率 标准正常随机的功能 variable):[eq46] 在哪里 我们找到了价值 [eq47] 在正态分布表中。

练习3.

假设随机变量 X 具有平均值的正态分布  $ mu = 1 $ and variance $ sigma ^ {2} = 1 $. 定义随机变量 Y as follows:[eq48] 计算 预期的价值 Y.

解决方案

请记住,那一刻发生了 function of X is[eq49] 所以, 使用预期值的线性,我们 obtain[eq50]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "正常分布", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/normal-distribution.

这本书

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