在Statlect上搜索概率和统计术语
统计 列克特
指数 > 概率真人在线斗地主

正态真人在线斗地主

通过 博士

正态真人在线斗地主是概率论的基石之一, 统计,因为

为了纪念卡尔·弗里德里希·高斯,通常将其称为高斯真人在线斗地主 (1777-1855)是一位杰出的德国数学家,他做出了重要贡献 以便更好地了解正态真人在线斗地主。

有时也称为“钟形真人在线斗地主”,因为 其图 可能性 密度函数 像钟形。

正常密度图

从上面的正态真人在线斗地主密度图可以看出, 密度围绕平均值对称(以垂直线表示)。如 结果,偏离均值的幅度相同,但是 不同的符号,具有相同的概率。

密度也非常集中在平均值附近,并且变得很小 通过从真人在线斗地主的中心向左或向右移动( 所谓的“尾巴”真人在线斗地主)。这意味着值越远 从真人在线斗地主的中心看,观察到 值。

本讲座的其余部分给出了主要内容的正式介绍 正态真人在线斗地主的特征。首先,我们处理特殊 真人在线斗地主的均值和单位方差为零的情况。然后我们 在一般情况下,均值和方差可以取任何值。

目录

标准正态真人在线斗地主

形容词“标准”表示均值相等的特殊情况 为零,并且方差等于1。

定义

标准正态随机变量的特征如下。

定义 X 成为 连续 随机变量 。 让它 支持 成为整体 实数集 数字: [eq1] 我们 比如说 X 有一个 标准正态真人在线斗地主 当且仅当其 概率密度函数 是 [eq2]

以下是证明 [eq3] 确实是一个 合法概率密度 功能 :

证明

功能 [eq4] 如果它为非负数且其值为负,则为合法的概率密度函数 支撑上的积分等于1。前一个属性很明显,而 后者可以证明为 如下: [eq5]

期望值

期望值 标准正常随机数 变量 X[eq6]

证明

它 可以导出为 如下: [eq7]

方差

方差 标准正态随机变量的 X[eq8]

证明

它 可以用平时证明 方差公式 ([eq9] ): [eq10]

瞬间产生功能

力矩产生功能 标准的 正常随机变量 X 为任何定义  R中的t :[eq11]

证明

它 通过使用矩生成的定义导出 功能: [eq12] 的 上面的积分是定义明确的,对于任何  R中的t . 因此,力矩产生函数 X 存在于任何  R中的t .

特征功能

特征函数 标准法线 随机变量 X[eq13]

证明

通过 特征函数的定义,我们 有 [eq14] 现在, 相对于  $ t $ 特征的 功能: [eq15] 通过 综合前两个结果,我们 获得 [eq16] 的 满足该常微分方程的唯一函数 条件 [eq17]) 是 [eq18]

分配功能

没有简单的公式可以 分配功能 [eq19] 标准正态随机变量的 X 因为 积分 [eq20] 不能 用基本功能表示。因此,通常 必须借助特殊表或计算机算法来计算 的值 [eq21]. 演讲题为 正常 真人在线斗地主值 详细讨论这些替代方案。

正态真人在线斗地主一般

在上一节中,我们将注意力集中在特殊情况上 零均值和单位方差,现在我们处理一般情况。

定义

正态真人在线斗地主均值  亩 和方差  sigma ^ 2 特点如下。

定义 X 是连续随机变量。让它的支持成为真实存在的全部 数字: [eq22]U {211d} $中的$  亩 [eq23]. 我们说 X 有一个 正态真人在线斗地主 刻薄  亩 和方差  sigma ^ 2 当且仅当其概率密度函数 是 [eq24]

我们经常指出一个事实, X 具有均值的正态真人在线斗地主  亩 和方差  sigma ^ 2 通过 [eq25]

为了更好地了解真人在线斗地主的形状如何取决于其真人在线斗地主 参数,您可以看一下 密度图 在 此页面的底部。

标准和非标准正态真人在线斗地主之间的关系

以下命题提供了标准与标准之间的联系。 一般情况。

主张 如果 X 具有均值的正态真人在线斗地主  亩 和方差  sigma ^ 2 , 然后 [eq26] 哪里 Z 是具有标准正态真人在线斗地主的随机变量。

证明

使用公式可以很容易地证明这一点 为了 一个函数的密度 连续变量 ([eq27] 是严格增加的功能 Z, 以来  $西格玛$ 严格 正): [eq28]

因此,当  $  亩  = 0 $ $ sigma ^ {2} = 1 $.

期望值

正常随机变量的期望值 X[eq29]

证明

的 证明是以下事实的直接应用: X 我们可以写成标准法线的线性函数吗 变量: [eq30]

方差

正常随机变量的方差 X[eq31]

证明

它 可以导出为 如下: [eq32]

瞬间产生功能

正态随机变量的矩生成函数 X 为任何定义  R中的t :[eq33]

证明

的 mgf衍生为 如下: [eq34] 它 为任何定义  R中的t 因为力矩产生函数 Z 为任何定义  R中的t .

特征功能

正常随机变量的特征函数 X[eq35]

证明

的 推导类似于产生瞬间的推导 功能: [eq36]

分配功能

真人在线斗地主函数 [eq37] 正常随机变量的 X 可以写 如 [eq38] 哪里 [eq39] 是标准正态随机变量的真人在线斗地主函数 Z (看上面)。演讲题为 正态真人在线斗地主值 提供了该公式的证明并进行了详细讨论。

密度图

本节显示一些正常随机变量的密度图。 这些图帮助我们了解真人在线斗地主的形状如何通过 更改其参数。

情节1-改变均值

下图包含两个法线概率密度的图 职能:

通过改变均值  $  亩  = 0 $  $  亩  = 1 $ , 图形的形状不会改变,但是图形会转换为 正确(位置更改)。

法线密度图1

曲线2-更改标准偏差

下图显示了两个图形:

通过增加与  $ sigma = 1 $  $西格玛= 2 $ , 图的位置不会改变(它保持居中 0 ), 但图形的形状会发生变化(中心的密度较小, 尾巴的密度更高)。

法线密度图2

更多细节

以下讲座包含更多有关正态真人在线斗地主的资料。

正态真人在线斗地主值

如何处理真人在线斗地主函数的数值计算

多元正态真人在线斗地主

统计中经常遇到的正态真人在线斗地主的多元概括

涉及正态变量的二次形式

讨论涉及正态随机变量的二次型的真人在线斗地主

正态变量的线性组合

讨论了线性保持正态性的重要事实 组合

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X 是具有均值的正常随机变量  $亩= 3 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 4 $. 计算以下 可能性: [eq40]

首先,我们需要表达 就真人在线斗地主函数而言,上述概率 X:[eq41]

然后,我们需要表达 X 在标准正态随机变量的真人在线斗地主函数方面 Z:[eq42]

因此,上述概率可以表示为 如 [eq43] 哪里 我们使用了这样一个事实 [eq44], 在演讲中已经介绍过 正态真人在线斗地主值.

练习2

X 是具有均值正态真人在线斗地主的随机变量  $  亩  = 1 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 16 $. 计算以下 可能性: [eq45]

我们需要使用与 先前的练习(用真人在线斗地主表示概率 标准正态随机函数 变量): [eq46] 哪里 我们发现了价值 [eq47] 在正态真人在线斗地主表中。

练习3

假设随机变量 X 具有均值的正态真人在线斗地主  $  亩  = 1 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 1 $. 定义随机变量 Y 如 如下: [eq48] 计算 的期望值 Y.

记住那一刻产生 的功能 X[eq49] 因此, 利用期望值的线性,我们 获得 [eq50]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "正态真人在线斗地主", 列克特 ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/normal-distribution.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。