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正常随机变量的线性组合

通过 博士

使正态分布从 分析的观点是线性组合下的闭合:线性 两者结合 独立随机变量 有一个 正态分布 也有正常 分配。以下各节介绍了 这个基本属性,然后讨论一些特殊情况。

目录

多元正态随机向量的线性变换

a的线性变换 多元正态 随机向量 也具有多元正态分布,如图所示 通过以下命题。

主张X 成为 Kx1 均值的多元正态随机向量 亩 协方差矩阵 V. 让 A 豆角,扁豆 $酸橙1 $ 实向量和 $ B $ 一个 $石灰K $ 完整实数矩阵。然后 $酸橙1 $ 随机向量 Y 定义的 通过[eq1]具有 多元正态分布 意思[eq2]和 协方差 矩阵[eq3]

证明

使用以下公式可以证明这一点: 关节力矩产生功能 随机向量的线性变换。联合力矩产生 的功能 X[eq4]因此, 关节力矩产生函数 Y[eq5]哪一个 是多元正态分布的矩生成函数,其中 意思 $ A + Bmu $ 和协方差矩阵 $ BVB ^ {intercal} $. 注意 $ BVB ^ {intercal} $ 需要是正定的,以便成为适当的协方差矩阵 多元正态分布,但这是基于以下假设: $ B $ 是全职的。因此, Y 具有多元正态分布,均值 $ A + Bmu $ 和协方差矩阵 $ BVB ^ {intercal} $, 因为当两个随机向量具有相同的分布时,它们具有相同的分布 关节力矩产生功能。

以下示例介绍了上述情况的一些重要特殊情况 属性。

示例1-两个独立正态随机变量的总和

两个独立正态随机变量的总和具有正态分布, 如下所述:

X_1 是具有均值正态分布的随机变量 $ 亩 _ {1} $ 方差 $ sigma _ {1} ^ {2} $. 让 X_2 是一个随机变量, 独立X_1, 具有均值的正态分布 $ 亩 _ {2} $ 和方差 $ sigma _ {2} ^ {2} $. 然后,随机变量 Y 定义的 如:[eq6]具有 具有均值的正态分布 [eq7]和 方差 [eq8]

证明

首先,我们需要利用以下事实 相互独立的正态随机变量 共同正常$ 2imes 1 $ 随机向量 X 定义的 如 [eq9]具有 均值的多元正态分布 [eq10]和 协方差矩阵 [eq11]

我们可以 写[eq12]哪里[eq13]

因此,根据上述关于线性变换的命题, Y 具有正态分布 意思[eq14]和 方差[eq15]

示例2-两个以上的和 独立正态随机变量

两个以上的独立正态随机变量之和也具有一个正态 分布,如以下示例所示。

[eq16]K 相互独立的正态随机变量,具有均值 [eq17] 和差异 [eq18]. 然后,随机变量 Y 定义的 如 [eq19]具有 具有均值的正态分布 [eq20]和 方差 [eq21]

证明

这可以通过概括得出 示例1中的命题证明或使用示例中的命题 递归1(从的前两个组件开始 X, 然后添加第三个,依此类推)。

示例3-相互的线性组合 独立正态随机变量

前两个示例中说明的属性可以更进一步 推广到的线性组合 K 相互独立的正常随机变量。

[eq22]K 相互独立的正态随机变量,具有均值 [eq23] 和差异 [eq24]. 让 [eq25]K 常数。然后,随机变量 Y 定义的 如 [eq26]具有 具有均值的正态分布 [eq27]和 方差 [eq28]

证明

首先,我们需要利用以下事实 相互独立的正态随机变量是共同正态的: Kx1 随机向量 X 定义的 如 [eq29]具有 均值的多元正态分布 [eq30]和 协方差矩阵 [eq31]

我们可以 写[eq32]哪里[eq33]

因此,根据上述关于线性变换的命题, Y 具有(多元)正态分布 意思[eq34]和 方差[eq35]

示例4-法线的线性变换 random variable

上述命题的一个特殊情况是 X 有尺寸 $ 1imes 1 $ (即,它是一个随机变量)。

X 是具有均值的正常随机变量 亩 和方差 sigma ^ 2. 让 a$ b $ 是两个常量(带有 $b
eq 0$)。 然后是随机变量 Y 定义的 通过[eq36]具有 正态分布 意思[eq37]和 方差[eq38]

证明

这只是一个特例 ($K=1$) 关于线性的上述命题 转变。

示例5-相互的线性组合 独立法线随机向量

可以将示例3中说明的属性推广为线性 相互独立的法线随机向量的组合。

[eq39]n 相互独立 Kx1 正常随机向量,具有均值 [eq40] 和协方差矩阵 [eq41]. 让 [eq42]n 真实 $石灰K $ 全等级矩阵。然后, $酸橙1 $ 随机向量 Y 定义的 如 [eq43]具有 具有均值的正态分布 [eq44]和 协方差矩阵 [eq45]

证明

这是由于以下事实: 相互独立的法线随机向量共同为法线: $ Knimes 1 $ 随机向量 X 定义的 如 [eq46]具有 均值的多元正态分布 [eq47]和 协方差矩阵 [eq48]

因此,我们可以将以上关于线性变换的命题应用于 向量 X.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

[eq49]是 a $ 2imes 1 $ 均值的多元正态随机向量 [eq50]和 协方差 矩阵[eq51]找 随机变量的分布 Z 定义的 如 [eq52]

我们可以 写[eq53]哪里 [eq54]存在 多元正态随机向量的线性变换, Z 也是多元正常的。实际上,它是单变量正态的,因为 标量。它的意思 是[eq55]和 其方差 是[eq56]

练习2

X_1, ..., X_nn 相互独立的标准正态随机变量。让 [eq57] 是一个常数。找出随机变量的分布 Y 定义的 如 [eq58]

是相互的线性组合 独立正态随机变量, Y 具有正态分布 意思[eq59]和 方差[eq60]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "正常随机变量的线性组合", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/normal-distribution-linear-combinations.

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