随机变量
有一个 标准学生t分布 与
自由度,如果可以写成
比
之间
a 标准正态随机变量
和a的平方根 伽玛随机
变量
带参数
和
,
独立于
.
等效地,我们可以
写哪里
是一个 卡方随机变量 与
自由度(如果我们除以
卡方随机变量
自由度,我们获得带有参数的Gamma随机变量
和
-参见讲座 伽玛
分配 )。
随机变量
有一个 非标准学生t分布 刻薄
,
规模
和
自由度(如果可以写为a的线性变换)
标准学生t随机
变量:
哪里
和
定义如前。
学生t分布的重要性源于以下事实: 这种线性变换比率经常在 统计资料(例如, 关于均值的假设检验 )。
我们首先介绍标准的学生t分布。然后我们处理 非标准学生的t分布。
标准学生t分布是学生t的特例 分配。首先解释这种特殊情况, 更一般的情况大大方便了。
标准学生t分布的特征如下。
定义
让
成为 连续
随机变量。让它
支持 成为整体
实数集
数字:
让
.
我们说
有一个 标准学生t分布 与
度数
自由的前提是
概率密度
功能
是
哪里
是一个
不变:
和
是个 Beta功能.
具有标准学生t分布的随机变量也称为a 标准学生t随机变量。
通常自由度是整数
( ),
但也可以是真实的
(
)。
标准学生的t随机变量可以写为普通随机 其方差等于Gamma随机变量的倒数的变量, 如以下命题所示。
命题(整体
表示)
的概率密度函数
可以写
如
哪里:
是a的概率密度函数 正常
分配 刻薄
和方差
:
是具有参数的Gamma随机变量的概率密度函数
和
:
哪里
我们需要证明
那 哪里
和
让
我们从被积函数开始:
哪里
和
是具有Gamma的随机变量的概率密度函数
带参数分布
和
.
因此:
当然,如果
是具有方差的零均值正常随机变量
,
有条件的
,
那么我们可以想到
作为一个
比
哪里
具有标准的正态分布
具有伽玛分布,
和
是独立的。
的 期望值 标准学生的随机数
变量
仅针对
这是平等的
至
这是由于密度
函数左右对称
:
的
上述积分是有限的(因此期望值是明确定义的)
因为
和
上述限制是有限的
.
的 方差 标准学生的随机数
变量
仅针对
这是平等的
至
可以归功于通常
方差公式
()
和Beta的完整表示
功能:
从
通过以上推导,应该清楚方差是定义明确的
只有当
.
否则,如果
,
上述不正确的积分不会收敛(并且Beta函数不会收敛)
定义明确的)。
的
-th
时刻 标准学生t随机变量的
仅针对
这是平等的
至
通过使用矩的定义,我们
得到 因此,
计算
-th
并验证它是否存在并且是有限的,我们需要研究
以下
积分:
从
根据以上推导,应该清楚
-th
只有当
.
否则,如果
,
上述不正确的积分不会收敛(积分涉及Beta
函数,定义明确,仅当其参数为
严格肯定-在这种情况下,仅当
)。
因此,
-th
的时刻
是
标准学生t随机变量
不具备 瞬间产生
功能.
一个随机变量
具有力矩产生功能,然后
-th
的时刻
存在并且对任何事物都是有限的
.
但是我们已经证明了
-th
的时刻
仅存在于
.
因此,
不能有瞬间生成功能。
标准的特征功能没有简单的表达 学生的t分布。可以用一个 改性 第二类贝塞尔函数 (一定微分的解 方程,称为修正贝塞尔微分方程)。有兴趣的 读者可以咨询 Sutradhar(1986).
没有简单的公式可以
分配功能
标准学生t随机变量的
因为
积分
不能
用基本功能表示。因此,通常
必须借助计算机算法来计算
.
例如,MATLAB
命令:
退货
该点的分布函数的值
x
when the 自由程度 parameter 是 equal 至 n
.
在上一节中,我们将注意力集中在学生的 具有零均值和单位标度的分布,我们现在处理一般情况。
学生的t分布的特征如下。
定义
让
是连续随机变量。让它的支持成为真实存在的全部
数字:
让
,
和
.
我们说
有一个 学生的t分布 刻薄
,
规模
和
度数
自由,当且仅当其概率密度函数
是
哪里
是一个
不变:
和
是Beta函数。我们指出
具有均值的t分布
,
规模
和
自由程度
通过
具有学生t分布的随机变量也称为学生的t t随机变量。
为了更好地了解学生的t分布,您可以看一下 密度图.
随机变量
其t分布均值
,
规模
和
自由度只是一个 标准
学生的t随机变量:
主张
如果
,
然后
哪里
是具有标准t分布的随机变量。
使用公式可以很容易地证明这一点
为了 一个函数的密度
连续变量
(
是严格增加的功能
,
以来
严格
正):
明显,
那么,标准t分布只是具有均值的正态分布
和规模
.
学生t随机变量的期望值
仅针对
这是平等的
至
这是事实的直接后果
那
(哪里
具有标准的t分布)和期望值的线性
值:
如
我们已经在上面看到了
仅针对
结果,
仅针对
.
学生t随机变量的方差
仅针对
这是平等的
至
可以使用公式计算得出
仿射变换的方差 上
(哪里
有一个标准的
分配):
如
我们已经在上面看到了
仅针对
结果,
仅针对
.
学生的t随机变量
不具备力矩生成功能。
这是由于以下事实:
(哪里
具有标准的t分布),并且 标准
学生的t随机变量 不具备力矩生成功能
(看上面)。
对于学生的特征功能没有简单的表达 t分布(对于标准情况,请参见上面的注释)。
至于标准t分布(请参见上文),没有简单的公式可用于
分布函数
学生的t随机变量
而且通常需要借助计算机算法来计算
的值
.
大多数计算机程序仅提供例程来计算
标准t分布函数(用
)。
在这种情况下,我们需要进行转换,因为
如下:
对于
例如,MATLAB
命令:
退货
the value at the point
x
的 分布函数
学生的t随机变量 刻薄 亩
, 规模
sigma
和 n
度数
自由。
以下各节包含有关t分布的更多详细信息。
具有均值的学生t分布
,
规模
和
自由程度 分布趋同
均值的正态分布
和方差
当自由度数
变大(收敛到无穷大)。
如上所述,如果
具有标准的正态分布
具有带有参数的Gamma分布
和
和
和
是独立的,那么随机变量
定义的
如
具有
一个标准的学生t分布
自由程度。
给定相同的假设
和
,
定义一个随机变量
如
如下:
哪里
是一个常数。
据说有一个 非中央标准学生
分配 与
自由度和非中心度参数
.
我们在这里不讨论此分发的详细信息,但要注意
这种分布有时用于统计理论(也用于基础理论
问题)以及用于计算其矩和分布的例程
大多数统计软件包中都可以找到该功能。
本节显示了一些随机变量的密度图 t分布。这些图可以帮助我们了解t的形状 通过更改其参数来更改分布。
下图包含两个学生t概率密度的图 职能:
第一张图(蓝线)是学生的概率密度函数
t带参数的随机变量
,
和
;
第二张图(红线)是学生的概率密度函数
t带参数的随机变量
,
和
.
通过改变均值
至
,
密度的形状不会改变,但是密度会转换为
正确(位置更改)。
在下图中:
第一张图(蓝线)是学生的概率密度函数
t带参数的随机变量
,
和
;
第二张图(红线)是学生的概率密度函数
t带参数的随机变量
,
和
.
通过更改比例参数
至
,
图的位置不会改变(它保持居中
),
但图形的形状会发生变化(中心的密度较小,
尾巴的密度更高)。
下图包含两个学生t概率密度的图 职能:
第一张图(蓝线)是学生的概率密度函数
t带参数的随机变量
,
和
;
第二张图(红线)是学生的概率密度函数
t带参数的随机变量
,
和
.
通过增加自由度
至
,
图的位置不会改变(它保持居中
)
并且其形状仅发生少量变化(尾巴变细)。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是具有均值的正常随机变量
和方差
.
让
是具有参数的Gamma随机变量
和
,
独立于
.
找出
比
我们可以
写哪里
具有标准正态分布
具有带有参数的Gamma分布
和
.
因此,
比
具有
一个标准的学生t分布
自由度和
的学生t分布均值
,
规模
和
自由程度。
让
是具有均值的正常随机变量
和方差
.
让
是具有参数的Gamma随机变量
和
,
独立于
.
找出随机分布
变量
我们可以
写哪里
具有标准正态分布
具有带有参数的Gamma分布
和
.
因此,
比
具有
标准的Stutent t分布
自由程度。
让
是具有均值的学生t随机变量
,
规模
和
自由程度。
计算
首先,我们需要编写
概率
分配功能 的
:
然后,
我们表达了
根据标准学生t随机数的分布函数
变量
与
度数
自由:
所以
那:
哪里
区别
可以使用计算机算法来计算,例如使用MATLAB
命令
tcdf(0,6)-tcdf(-1/2,6)
Sutradhar,B.C.(1986) 关于功能 学生t分布,《加拿大统计杂志》, 14、329-337。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "学生的t分布", 列克特ures 上 probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/student-t-distribution.