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学生的t分布

通过 博士

随机变量 X 有一个 标准学生t分布 与 n 自由度，如果可以写成 比[eq1]之间 a 标准正态随机变量 Y 和a的平方根 伽玛随机 变量 Z 带参数 n 和 $h=1$, 独立于 Y.

等效地，我们可以 写[eq2]哪里 $ chi _ {n} ^ {2} $ 是一个 卡方随机变量 与 n 自由度（如果我们除以 n 卡方随机变量 n 自由度，我们获得带有参数的Gamma随机变量 n 和 $h=1$ -参见讲座 伽玛 分配 ）。

随机变量 X 有一个 非标准学生t分布 刻薄 亩 , 规模 sigma ^ 2 和 n 自由度（如果可以写为a的线性变换） 标准学生t随机 变量：[eq3]哪里 Y 和 Z 定义如前。

学生t分布的重要性源于以下事实： 这种线性变换比率经常在 统计资料（例如， 关于均值的假设检验 ）。

我们首先介绍标准的学生t分布。然后我们处理 非标准学生的t分布。

目录

目录

  1. 标准学生t分布

    1. 定义

    2. 与正态和伽玛分布的关系

    3. 期望值

    4. 方差

    5. 更高的时刻

    6. 瞬间产生功能

    7. 特征功能

    8. 分配功能

  2. 学生的t分布

    1. 定义

    2. 标准与一般之间的关系

    3. 期望值

    4. 方差

    5. 瞬间产生功能

    6. 特征功能

    7. 分配功能

  3. 更多细节

    1. 收敛到正态分布

    2. 非中心t分布

  4. 密度图

    1. 图1-改变均值

    2. 情节2-更改比例

    3. 情节3-改变自由度

  5. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

  6. 参考文献

标准学生t分布

标准学生t分布是学生t的特例 分配。首先解释这种特殊情况， 更一般的情况大大方便了。

定义

标准学生t分布的特征如下。

定义 让 X 成为 连续 随机变量。让它 支持 成为整体 实数集 数字：[eq4] 让 [eq5]. 我们说 X 有一个 标准学生t分布 与 n 度数 自由的前提是 概率密度 功能 是 [eq6]哪里 $ c $ 是一个 不变：[eq7] 和 $ Bleft（{} 权）$ 是个 Beta功能.

具有标准学生t分布的随机变量也称为a 标准学生t随机变量。

通常自由度是整数 ($ nin U {2115} $ ）， 但也可以是真实的 ([eq5] ）。

与正态和伽玛分布的关系

标准学生的t随机变量可以写为普通随机 其方差等于Gamma随机变量的倒数的变量， 如以下命题所示。

命题（整体 表示） 的概率密度函数 X 可以写 如 [eq9]哪里：

  1. [eq10] 是a的概率密度函数 正常 分配 刻薄 0 和方差 [eq11]:[eq12]

  2. [eq13] 是具有参数的Gamma随机变量的概率密度函数 n 和 $h=1$:[eq14]哪里[eq15]

证明

我们需要证明 那 [eq16]哪里[eq17] 和 [eq18] 让 我们从被积函数开始： [eq19]哪里 [eq20] 和 [eq21] 是具有Gamma的随机变量的概率密度函数 带参数分布 $n+1$ 和 [eq22]. 因此：[eq23]

当然，如果 X 是具有方差的零均值正常随机变量 $1/z$, 有条件的 $ Z = z $, 那么我们可以想到 X 作为一个 比[eq24]哪里 Y 具有标准的正态分布 Z 具有伽玛分布， Y 和 Z 是独立的。

期望值

的 期望值 标准学生的随机数 变量 X 仅针对 $n>1$ 这是平等的 至 [eq25]

证明

这是由于密度 函数左右对称 0:[eq26] 的 上述积分是有限的（因此期望值是明确定义的） $n>1$ 因为[eq27] 和 上述限制是有限的 $n>1$.

方差

的 方差 标准学生的随机数 变量 X 仅针对 $n>2$ 这是平等的 至 [eq28]

证明

可以归功于通常 方差公式 ([eq29]) 和Beta的完整表示 功能：[eq30]从 通过以上推导，应该清楚方差是定义明确的 只有当 $n>2$. 否则，如果 $ nleq 2 $, 上述不正确的积分不会收敛（并且Beta函数不会收敛） 定义明确的）。

更高的时刻

的 k -th 时刻 标准学生t随机变量的 X 仅针对 $k<n$ 这是平等的 至 [eq31]

证明

通过使用矩的定义，我们 得到 [eq32]因此， 计算 k -th 并验证它是否存在并且是有限的，我们需要研究 以下 积分：[eq33]从 根据以上推导，应该清楚 k -th 只有当 $n>k$. 否则，如果 $ nleq k $, 上述不正确的积分不会收敛（积分涉及Beta 函数，定义明确，仅当其参数为 严格肯定-在这种情况下，仅当 $ frac {n-k} {2}>0$ ）。 因此， k -th 的时刻 X 是 [eq34]

瞬间产生功能

标准学生t随机变量 X 不具备 瞬间产生 功能.

证明

一个随机变量 X 具有力矩产生功能，然后 k -th 的时刻 X 存在并且对任何事物都是有限的 $ kin U {2115} $. 但是我们已经证明了 k -th 的时刻 X 仅存在于 $k<n$. 因此， X 不能有瞬间生成功能。

特征功能

标准的特征功能没有简单的表达 学生的t分布。可以用一个 改性 第二类贝塞尔函数 （一定微分的解 方程，称为修正贝塞尔微分方程）。有兴趣的 读者可以咨询 Sutradhar（1986）.

分配功能

没有简单的公式可以 分配功能 [eq35] 标准学生t随机变量的 X 因为 积分[eq36]不能 用基本功能表示。因此，通常 必须借助计算机算法来计算 [eq37]. 例如，MATLAB 命令：[eq38]退货 该点的分布函数的值 x when the 自由程度 parameter 是 equal 至 n.

学生的t分布

在上一节中，我们将注意力集中在学生的 具有零均值和单位标度的分布，我们现在处理一般情况。

定义

学生的t分布的特征如下。

定义 让 X 是连续随机变量。让它的支持成为真实存在的全部 数字：[eq39] 让 U {211d} $中的$ 亩 , [eq40] 和 [eq5]. 我们说 X 有一个 学生的t分布 刻薄 亩 , 规模 sigma ^ 2 和 n 度数 自由，当且仅当其概率密度函数 是 [eq42]哪里 $ c $ 是一个 不变：[eq7] 和 $ Bleft（{} 权）$ 是Beta函数。我们指出 X 具有均值的t分布 亩 , 规模 sigma ^ 2 和 n 自由程度 通过 [eq44]

具有学生t分布的随机变量也称为学生的t t随机变量。

为了更好地了解学生的t分布，您可以看一下 密度图.

标准与一般之间的关系

随机变量 X 其t分布均值 亩 , 规模 sigma ^ 2 和 n 自由度只是一个 标准 学生的t随机变量:

主张 如果 [eq45], 然后[eq46]哪里 Z 是具有标准t分布的随机变量。

证明

使用公式可以很容易地证明这一点 为了 一个函数的密度 连续变量 ([eq47] 是严格增加的功能 Z, 以来 $西格玛$ 严格 正）：[eq48]明显， 那么，标准t分布只是具有均值的正态分布 $ 亩 = 0 $ 和规模 $ sigma ^ {2} = 1 $.

期望值

学生t随机变量的期望值 X 仅针对 $n>1$ 这是平等的 至 [eq49]

证明

这是事实的直接后果 那 $ X = 亩 + sigma Z $ （哪里 Z 具有标准的t分布）和期望值的线性 值：[eq50] 如 我们已经在上面看到了 [eq51] 仅针对 $n>1$ 结果， [eq52] 仅针对 $n>1$.

方差

学生t随机变量的方差 X 仅针对 $n>2$ 这是平等的 至 [eq53]

证明

可以使用公式计算得出 仿射变换的方差 上 $ X = 亩 + sigma Z $ （哪里 Z 有一个标准的 分配）：[eq54] 如 我们已经在上面看到了 [eq55] 仅针对 $n>2$ 结果， [eq56] 仅针对 $n>2$.

瞬间产生功能

学生的t随机变量 X 不具备力矩生成功能。

证明

这是由于以下事实： $ X = 亩 + sigma Z $ （哪里 Z 具有标准的t分布），并且 标准 学生的t随机变量 不具备力矩生成功能 （看上面）。

特征功能

对于学生的特征功能没有简单的表达 t分布（对于标准情况，请参见上面的注释）。

分配功能

至于标准t分布（请参见上文），没有简单的公式可用于 分布函数 [eq57] 学生的t随机变量 X 而且通常需要借助计算机算法来计算 的值 [eq58]. 大多数计算机程序仅提供例程来计算 标准t分布函数（用 [eq59] ）。 在这种情况下，我们需要进行转换，因为 如下：[eq60] 对于 例如，MATLAB 命令：[eq61]退货 the value at the point x 的 分布函数 学生的t随机变量 刻薄 亩 , 规模 sigma 和 n 度数 自由。

更多细节

以下各节包含有关t分布的更多详细信息。

收敛到正态分布

具有均值的学生t分布 亩 , 规模 sigma ^ 2 和 n 自由程度 分布趋同 均值的正态分布 亩 和方差 sigma ^ 2 当自由度数 n 变大（收敛到无穷大）。

证明

如前所述，如果 X_n 有t分布，可以写成 如 [eq62]哪里 Y 是标准的正常随机变量，并且 $ chi _ {n} ^ {2} $ 是具有以下项的卡方随机变量： n 自由度，独立于 Y. 此外，如题为“ 卡方分布, $ chi _ {n} ^ {2} $ 可以写成的平方和 n 独立标准正态随机变量 [eq63]:[eq64]什么时候 n 趋于无穷大 比[eq65]收敛 可能 [eq66], 由 大数定律。结果， 斯卢茨基定理, X_n 收敛到 [eq67]哪一个 是具有均值的正常随机变量 亩 和方差 sigma ^ 2.

非中心t分布

如上所述，如果 Y 具有标准的正态分布 Z 具有带有参数的Gamma分布 n 和 $h=1$ 和 Y 和 Z 是独立的，那么随机变量 X 定义的 如 [eq68] 具有 一个标准的学生t分布 n 自由程度。

给定相同的假设 Y 和 Z, 定义一个随机变量 $ W $ 如 如下：[eq69]哪里 $ cin U {211d} $ 是一个常数。 $ W $ 据说有一个 非中央标准学生 分配 与 n 自由度和非中心度参数 $ c $ . 我们在这里不讨论此分发的详细信息，但要注意 这种分布有时用于统计理论（也用于基础理论 问题）以及用于计算其矩和分布的例程 大多数统计软件包中都可以找到该功能。

密度图

本节显示了一些随机变量的密度图 t分布。这些图可以帮助我们了解t的形状 通过更改其参数来更改分布。

图1-改变均值

下图包含两个学生t概率密度的图 职能：

通过改变均值 $ 亩 = 0 $ 至 $ 亩 = 1 $, 密度的形状不会改变，但是密度会转换为 正确（位置更改）。

学生的t密度图1

情节2-更改比例

在下图中：

通过更改比例参数 $ sigma = 1 $ 至 $西格玛= 2 $, 图的位置不会改变（它保持居中 0 ）， 但图形的形状会发生变化（中心的密度较小， 尾巴的密度更高）。

学生的t密度图2

情节3-改变自由度

下图包含两个学生t概率密度的图 职能：

通过增加自由度 $n=5$ 至 $n=25$, 图的位置不会改变（它保持居中 0) 并且其形状仅发生少量变化（尾巴变细）。

学生的t密度图3

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 X_1 是具有均值的正常随机变量 $ 亩 = 0 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 4 $. 让 X_2 是具有参数的Gamma随机变量 $n=10$ 和 $h=3$, 独立于 X_1. 找出 比[eq70]

解

我们可以 写[eq71]哪里 $ Y = X_ {1} / 2 $ 具有标准正态分布 $ Z = X_ {2} / 3 $ 具有带有参数的Gamma分布 $n=10$ 和 $h=1$. 因此， 比[eq72] 具有 一个标准的学生t分布 $n=10$ 自由度和 $ X $ 的学生t分布均值 $ 亩 = 0 $, 规模 $ sigma ^ {2} = 4/3 $ 和 $n=10$ 自由程度。

练习2

让 X_1 是具有均值的正常随机变量 $亩= 3 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 1 $. 让 X_2 是具有参数的Gamma随机变量 $n=15$ 和 $h=2$, 独立于 X_1. 找出随机分布 变量[eq73]

解

我们可以 写[eq74]哪里 $ Y = X_ {1} -3 $ 具有标准正态分布 $ Z = X_ {2} / 2 $ 具有带有参数的Gamma分布 $n=15$ 和 $h=1$. 因此， 比[eq75] 具有 标准的Stutent t分布 $n=15$ 自由程度。

练习3

让 X 是具有均值的学生t随机变量 $ 亩 = 1 $, 规模 $ sigma ^ {2} = 4 $ 和 $n=6$ 自由程度。 计算[eq76]

解

首先，我们需要编写 概率 分配功能 的 X:[eq77]然后， 我们表达了 X 根据标准学生t随机数的分布函数 变量 Z 与 $n=6 $ 度数 自由：[eq78] 所以 那：[eq79]哪里 区别 [eq80] 可以使用计算机算法来计算，例如使用MATLAB 命令

tcdf(0,6)-tcdf(-1/2,6)

参考文献

Sutradhar，B.C.（1986） 关于功能 学生t分布，《加拿大统计杂志》， 14、329-337。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "学生的t分布", 列克特ures 上 probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/student-t-distribution.

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