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学生的t分布

通过 博士

随机变量 X 有一个 标准学生t分布n 自由度,如果可以写成 比[eq1]之间 a 标准正态随机变量 Y 和a的平方根 伽玛随机 变量 Z 带参数 n$h=1$, 独立于 Y.

等效地,我们可以 写[eq2]哪里 $ chi _ {n} ^ {2} $ 是一个 卡方随机变量n 自由度(如果我们除以 n 卡方随机变量 n 自由度,我们获得带有参数的Gamma随机变量 n$h=1$ -参见讲座 伽玛 分配 )。

随机变量 X 有一个 非标准学生t分布 刻薄  亩 , 规模 sigma ^ 2n 自由度(如果可以写为a的线性变换) 标准学生t随机 变量:[eq3]哪里 YZ 定义如前。

学生t分布的重要性源于以下事实: 这种线性变换比率经常在 统计资料(例如, 关于均值的假设检验 )。

我们首先介绍标准的学生t分布。然后我们处理 非标准学生的t分布。

目录

标准学生t分布

标准学生t分布是学生t的特例 分配。首先解释这种特殊情况, 更一般的情况大大方便了。

定义

标准学生t分布的特征如下。

定义 X 成为 连续 随机变量。让它 支持 成为整体 实数集 数字:[eq4][eq5]. 我们说 X 有一个 标准学生t分布n 度数 自由的前提是 概率密度 功能[eq6]哪里  $ c $ 是一个 不变:[eq7]$ Bleft({}
权)$ 是个 Beta功能.

具有标准学生t分布的随机变量也称为a 标准学生t随机变量。

通常自由度是整数 ($ nin U {2115} $ ), 但也可以是真实的 ([eq5] )。

与正态和伽玛分布的关系

标准学生的t随机变量可以写为普通随机 其方差等于Gamma随机变量的倒数的变量, 如以下命题所示。

命题(整体 表示) 的概率密度函数 X 可以写 如 [eq9]哪里:

  1. [eq10] 是a的概率密度函数 正常 分配 刻薄 0 和方差 [eq11]:[eq12]

  2. [eq13] 是具有参数的Gamma随机变量的概率密度函数 n$h=1$:[eq14]哪里[eq15]

证明

我们需要证明 那 [eq16]哪里[eq17][eq18] 让 我们从被积函数开始: [eq19]哪里 [eq20][eq21] 是具有Gamma的随机变量的概率密度函数 带参数分布 $n+1$[eq22]. 因此:[eq23]

当然,如果 X 是具有方差的零均值正常随机变量 $1/z$, 有条件的 $ Z = z $, 那么我们可以想到 X 作为一个 比[eq24]哪里 Y 具有标准的正态分布 Z 具有伽玛分布, YZ 是独立的。

期望值

期望值 标准学生的随机数 变量 X 仅针对 $n>1$ 这是平等的 至 [eq25]

证明

这是由于密度 函数左右对称 0:[eq26] 的 上述积分是有限的(因此期望值是明确定义的) $n>1$ 因为[eq27] 和 上述限制是有限的 $n>1$.

方差

方差 标准学生的随机数 变量 X 仅针对 $n>2$ 这是平等的 至 [eq28]

证明

可以归功于通常 方差公式 ([eq29]) 和Beta的完整表示 功能:[eq30]从 通过以上推导,应该清楚方差是定义明确的 只有当 $n>2$. 否则,如果 $ nleq 2 $, 上述不正确的积分不会收敛(并且Beta函数不会收敛) 定义明确的)。

更高的时刻

k -th 时刻 标准学生t随机变量的 X 仅针对 $k<n$ 这是平等的 至 [eq31]

证明

通过使用矩的定义,我们 得到 [eq32]因此, 计算 k -th 并验证它是否存在并且是有限的,我们需要研究 以下 积分:[eq33]从 根据以上推导,应该清楚 k -th 只有当 $n>k$. 否则,如果 $ nleq k $, 上述不正确的积分不会收敛(积分涉及Beta 函数,定义明确,仅当其参数为 严格肯定-在这种情况下,仅当 $ frac {n-k} {2}>0$ )。 因此, k -th 的时刻 X[eq34]

瞬间产生功能

标准学生t随机变量 X 不具备 瞬间产生 功能.

证明

一个随机变量 X 具有力矩产生功能,然后 k -th 的时刻 X 存在并且对任何事物都是有限的 $ kin U {2115} $. 但是我们已经证明了 k -th 的时刻 X 仅存在于 $k<n$. 因此, X 不能有瞬间生成功能。

特征功能

标准的特征功能没有简单的表达 学生的t分布。可以用一个 改性 第二类贝塞尔函数 (一定微分的解 方程,称为修正贝塞尔微分方程)。有兴趣的 读者可以咨询 Sutradhar(1986).

分配功能

没有简单的公式可以 分配功能 [eq35] 标准学生t随机变量的 X 因为 积分[eq36]不能 用基本功能表示。因此,通常 必须借助计算机算法来计算 [eq37]. 例如,MATLAB 命令:[eq38]退货 该点的分布函数的值 x when the 自由程度 parameter 是 equal 至 n.

学生的t分布

在上一节中,我们将注意力集中在学生的 具有零均值和单位标度的分布,我们现在处理一般情况。

定义

学生的t分布的特征如下。

定义X 是连续随机变量。让它的支持成为真实存在的全部 数字:[eq39]U {211d} $中的$  亩 , [eq40][eq5]. 我们说 X 有一个 学生的t分布 刻薄  亩 , 规模 sigma ^ 2n 度数 自由,当且仅当其概率密度函数 是 [eq42]哪里  $ c $ 是一个 不变:[eq7]$ Bleft({}
权)$ 是Beta函数。我们指出 X 具有均值的t分布  亩 , 规模 sigma ^ 2n 自由程度 通过 [eq44]

具有学生t分布的随机变量也称为学生的t t随机变量。

为了更好地了解学生的t分布,您可以看一下 密度图.

标准与一般之间的关系

随机变量 X 其t分布均值  亩 , 规模 sigma ^ 2n 自由度只是一个 标准 学生的t随机变量:

主张 如果 [eq45], 然后[eq46]哪里 Z 是具有标准t分布的随机变量。

证明

使用公式可以很容易地证明这一点 为了 一个函数的密度 连续变量 ([eq47] 是严格增加的功能 Z, 以来 $西格玛$ 严格 正):[eq48]明显, 那么,标准t分布只是具有均值的正态分布 $  亩  = 0 $ 和规模 $ sigma ^ {2} = 1 $.

期望值

学生t随机变量的期望值 X 仅针对 $n>1$ 这是平等的 至 [eq49]

证明

这是事实的直接后果 那 $ X =  亩  + sigma Z $ (哪里 Z 具有标准的t分布)和期望值的线性 值:[eq50] 如 我们已经在上面看到了 [eq51] 仅针对 $n>1$ 结果, [eq52] 仅针对 $n>1$.

方差

学生t随机变量的方差 X 仅针对 $n>2$ 这是平等的 至 [eq53]

证明

可以使用公式计算得出 仿射变换的方差$ X =  亩  + sigma Z $ (哪里 Z 有一个标准的 分配):[eq54] 如 我们已经在上面看到了 [eq55] 仅针对 $n>2$ 结果, [eq56] 仅针对 $n>2$.

瞬间产生功能

学生的t随机变量 X 不具备力矩生成功能。

证明

这是由于以下事实: $ X =  亩  + sigma Z $ (哪里 Z 具有标准的t分布),并且 标准 学生的t随机变量 不具备力矩生成功能 (看上面)。

特征功能

对于学生的特征功能没有简单的表达 t分布(对于标准情况,请参见上面的注释)。

分配功能

至于标准t分布(请参见上文),没有简单的公式可用于 分布函数 [eq57] 学生的t随机变量 X 而且通常需要借助计算机算法来计算 的值 [eq58]. 大多数计算机程序仅提供例程来计算 标准t分布函数(用 [eq59] )。 在这种情况下,我们需要进行转换,因为 如下:[eq60] 对于 例如,MATLAB 命令:[eq61]退货 the value at the point x 的 分布函数 学生的t随机变量 刻薄 , 规模 sigman 度数 自由。

更多细节

以下各节包含有关t分布的更多详细信息。

收敛到正态分布

具有均值的学生t分布  亩 , 规模 sigma ^ 2n 自由程度 分布趋同 均值的正态分布  亩 和方差 sigma ^ 2 当自由度数 n 变大(收敛到无穷大)。

证明

如前所述,如果  X_n 有t分布,可以写成 如 [eq62]哪里 Y 是标准的正常随机变量,并且 $ chi _ {n} ^ {2} $ 是具有以下项的卡方随机变量: n 自由度,独立于 Y. 此外,如题为“ 卡方分布, $ chi _ {n} ^ {2} $ 可以写成的平方和 n 独立标准正态随机变量 [eq63]:[eq64]什么时候 n 趋于无穷大 比[eq65]收敛 可能 [eq66], 由 大数定律。结果, 斯卢茨基定理,  X_n 收敛到 [eq67]哪一个 是具有均值的正常随机变量  亩 和方差 sigma ^ 2.

非中心t分布

如上所述,如果 Y 具有标准的正态分布 Z 具有带有参数的Gamma分布 n$h=1$YZ 是独立的,那么随机变量 X 定义的 如 [eq68] 具有 一个标准的学生t分布 n 自由程度。

给定相同的假设 YZ, 定义一个随机变量  $ W $ 如 如下:[eq69]哪里 $ cin U {211d} $ 是一个常数。  $ W $ 据说有一个 非中央标准学生 分配n 自由度和非中心度参数  $ c $ . 我们在这里不讨论此分发的详细信息,但要注意 这种分布有时用于统计理论(也用于基础理论 问题)以及用于计算其矩和分布的例程 大多数统计软件包中都可以找到该功能。

密度图

本节显示了一些随机变量的密度图 t分布。这些图可以帮助我们了解t的形状 通过更改其参数来更改分布。

图1-改变均值

下图包含两个学生t概率密度的图 职能:

通过改变均值 $  亩  = 0 $$  亩  = 1 $, 密度的形状不会改变,但是密度会转换为 正确(位置更改)。

学生的t密度图1

情节2-更改比例

在下图中:

通过更改比例参数 $ sigma = 1 $$西格玛= 2 $, 图的位置不会改变(它保持居中 0 ), 但图形的形状会发生变化(中心的密度较小, 尾巴的密度更高)。

学生的t密度图2

情节3-改变自由度

下图包含两个学生t概率密度的图 职能:

通过增加自由度 $n=5$$n=25$, 图的位置不会改变(它保持居中 0) 并且其形状仅发生少量变化(尾巴变细)。

学生的t密度图3

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X_1 是具有均值的正常随机变量 $  亩  = 0 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 4 $. 让 X_2 是具有参数的Gamma随机变量 $n=10$$h=3$, 独立于 X_1. 找出 比[eq70]

我们可以 写[eq71]哪里 $ Y = X_ {1} / 2 $ 具有标准正态分布 $ Z = X_ {2} / 3 $ 具有带有参数的Gamma分布 $n=10$$h=1$. 因此, 比[eq72] 具有 一个标准的学生t分布 $n=10$ 自由度和 $ X $ 的学生t分布均值 $  亩  = 0 $, 规模 $ sigma ^ {2} = 4/3 $$n=10$ 自由程度。

练习2

X_1 是具有均值的正常随机变量 $亩= 3 $ 和方差 $ sigma ^ {2} = 1 $. 让 X_2 是具有参数的Gamma随机变量 $n=15$$h=2$, 独立于 X_1. 找出随机分布 变量[eq73]

我们可以 写[eq74]哪里 $ Y = X_ {1} -3 $ 具有标准正态分布 $ Z = X_ {2} / 2 $ 具有带有参数的Gamma分布 $n=15$$h=1$. 因此, 比[eq75] 具有 标准的Stutent t分布 $n=15$ 自由程度。

练习3

X 是具有均值的学生t随机变量 $  亩  = 1 $, 规模 $ sigma ^ {2} = 4 $$n=6$ 自由程度。 计算[eq76]

首先,我们需要编写 概率 分配功能X:[eq77]然后, 我们表达了 X 根据标准学生t随机数的分布函数 变量 Z$n=6 $ 度数 自由:[eq78] 所以 那:[eq79]哪里 区别 [eq80] 可以使用计算机算法来计算,例如使用MATLAB 命令

tcdf(0,6)-tcdf(-1/2,6)

参考文献

Sutradhar,B.C.(1986) 关于功能 学生t分布,《加拿大统计杂志》, 14、329-337。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "学生的t分布", 列克特ures 上 probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/student-t-distribution.

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