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均匀分布

通过 博士

如果所有值都连续的随机变量具有均匀分布 属于它的支持者具有相同的概率密度。

目录

定义

均匀分布的特征如下。

定义X 成为 连续 随机变量 。 让它 支持 封闭 实数区间 数字: [eq1] 我们 比如说 X 有一个 均匀分布 在间隔 $ left [l,u
权] $ 当且仅当其 概率密度 功能 [eq2]

具有均匀分布的随机变量也称为均匀 随机变量。有时,我们也说它有一个 长方形 分配 或者这是一个 矩形随机 变量 .

为了更好地了解均匀分布,可以看一下 密度图.

期望值

期望值 统一随机变量 X[eq3]

证明

它 可以导出为 如下: [eq4]

方差

方差 统一随机变量 X[eq5]

证明

我们 可以使用 方差公式 [eq6] 如 如下: [eq7]

瞬间产生功能

力矩产生功能 制服的 随机变量 X 为任何定义  R中的t :[eq8]

证明

使用 力矩产生函数的定义,我们 得到 [eq9] 注意 以上推导仅在以下情况下有效 $t
eq 0$. 但是,当 $t=0$:[eq10]此外, 很容易验证 那 [eq11] 什么时候 $t
eq 0$, 上面的积分是定义明确的,对于任何  R中的t . 因此,对于 任何  R中的t .

特征功能

特征函数 均匀随机 变量 X[eq12]

证明

使用 特征函数的定义,我们 获得 [eq13] 注意 以上推导仅在以下情况下有效 $t
eq 0$. 但是,当 $t=0$:[eq14]此外, 很容易验证 那 [eq15]

分配功能

分配 功能 统一随机变量 X[eq16]

证明

如果 $x<l$, 然后 [eq17] 因为 X 不能接受小于的值  $ l $ . 如果 $ lleq xleq u $, 然后 [eq18] 如果 $x>u$, 然后 [eq19] 因为 X 不能接受大于  $ u $ .

密度图

本节显示了一些均匀随机数的密度图 变量,以演示均匀密度如何通过改变而变化 其参数。

情节1-不同的支撑但长度相同

下图包含两个均匀概率密度的图 职能:

这两个随机变量有不同的支持,但它们的两个支持有 相同的长度。因此,由于均匀密度是恒定的, 与支撑长度成反比,两个随机变量 在它们各自的载体上具有相同的恒定密度。

均匀密度图1

情节2-不同的支撑和不同的长度

下图包含两个均匀概率密度的图 职能:

这两个随机变量具有不同的支持,且长度为  $ R_ {Y} $ 是长度的两倍  R_X . 因此,由于均匀密度是恒定的,并且与 支撑的长度,第二个随机变量具有恒定的密度 这是第一个恒定密度的一半。

均匀密度图2

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X 是一个统一的随机变量 支持 [eq24] 计算以下 可能性:[eq25]

我们可以通过使用 的概率密度函数或分布函数 X. 使用概率密度函数,我们 获得 [eq26] 使用 分布函数,我们 获得 [eq27]

练习2

假设随机变量 X 在间隔上有均匀的分布 [eq28]. 计算以下 可能性:[eq29]

这个概率很容易计算 通过使用分布函数 X:[eq30]

练习3

假设随机变量 X 在间隔上有均匀的分布 $ left [0,1
权] $. 计算第三 时刻 X, 那 是的 [eq31]

我们可以计算出 X 通过使用 转型 定理 :[eq32]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "均匀分布", 列克特 ures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/uniform-distribution.

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