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Wishart发行

通过 博士

本讲座涉及Wishart分布，它是一个多变量 概括 伽玛分布.

在以前的讲座中，我们已经解释了：

  1. a 卡方随机变量 与 n 自由度可以看成是 n 具有均值0和方差1的独立正态随机变量；

  2. 具有参数的Gamma随机变量 n 和 $ h $ 可以看成是 n 具有均值0和方差的独立正态随机变量 $ h / n $.

怀沙特 随机矩阵 与 参数 n 和 H 可以看成是 n 独立 多元正态随机向量 具有均值0和协方差矩阵 $ frac {1} {n} H $. 从这个意义上讲，Wishart分布可以被认为是 Gamma分布（取第2点并替换法线随机 具有多元正态随机向量的变量，具有外积的平方 和方差 $ h / n $ 与协方差矩阵 $ frac {1} {n} H $）。

在此页面的底部，您可以找到一些简短的评论 矩阵代数的基本概念 那将是 有助于理解本讲座的其余部分。

目录

目录

  1. 定义

  2. 与多元正态分布的关系

  3. 期望值

  4. 协方差矩阵

  5. 矩阵代数复习

    1. 外部产品

    2. 对称矩阵

    3. 正定矩阵

    4. 矩阵的痕迹

    5. 矩阵的向量化

    6. 克罗内克产品

  6. 参考文献

定义

Wishart随机矩阵的特征如下。

定义 让 $ W $ 成为 $ Kimes K $ 连续随机矩阵。让它 支持 被设置 在所有 $ Kimes K $ 对称正定实 矩阵：[eq1]让 H 是一个对称正定矩阵 $n>K-1$. 我们说 $ W $ 有一个 Wishart发行 带参数 n 和 H 如果它是 联合 概率密度函数 是[eq2]哪里[eq3]和 [eq4] 是个 伽玛功能.

参数 n 不需要是整数，但是，当 n 不是整数， $ W $ 不能再解释为多元正态外积之和 随机向量。

与多元正态分布的关系

以下命题提供了多元正态之间的联系 分布和Wishart分布。

主张 让 [eq5] 是 n 独立 Kx1 均具有多元正态分布且均值的随机向量 0 和协方差矩阵 $ frac {1} {n} H $. 让 $ Kleq n $. 定义[eq6]然后 $ W $ 具有参数的Wishart分布 n 和 H.

证明

这个主张的证明是相当 冗长而复杂。感兴趣的读者可以看看 戈什和辛哈 (2002).

期望值

的 期望值 Wishart随机矩阵 $ W $ 是[eq7]

证明

我们 没有提供完整的一般性证明，但我们仅针对 特殊情况下 n 是整数， $ W $ 可以写 如 [eq8]（看到 以上小节）。在这种情况下，我们有 那[eq9]哪里 我们使用了这样一个事实，即 X 可以写 如 [eq10]（看到 演讲题目 协方差 矩阵）。

协方差矩阵

仅对随机向量定义了协方差矩阵的概念。 但是，在处理随机矩阵时，可能需要计算 相关向量化的协方差矩阵（如果您不熟悉 关于向量化的概念，请参见 评论 矩阵代数 下面的定义）。因此，在 Wishart随机矩阵 $ W $, 我们可能要计算以下协方差 矩阵：[eq11]

以来 [eq12], 向量化 $ W $, 是一个 $ K ^ {2} imes 1 $ 随机向量 V 是一个 $ K ^ {2} imes K ^ {2} $ 矩阵。

有可能证明 那[eq13]哪里 $ otimes $ 表示Kronecker产品， [eq14] 是与关联的转置置换矩阵 [eq15] （请参阅 矩阵代数复习 在下面 定义）。

证明

这个公式的证明可以在 缪尔黑德（2005）.

对角项之间的协方差有一个更简单的表达式 的 $ W $: [eq16]

证明

同样，我们没有提供全面的 证明，但我们仅在以下特殊情况下证明此结果： n 是整数， $ W $ 可以写 如 [eq8]（看到 以上）。要计算此协方差，我们首先需要计算以下内容 第四 交叉时刻:[eq18]哪里 $ X_ {si} $ 表示 i-th 零件 ($ i = 1，ldots，K $) 随机向量 $ X_ {s} $ ($ s = 1，ldots，n $）。 可以通过取第四个横截面来计算这个跨矩 关节力矩产生函数的导数 $ X_ {si} $ 和 $ X_ {sj} $ 并将其评估为零（请参阅标题为“ 关节力矩产生功能）。而 这并不复杂，代数相当繁琐。我建议这样做 使用计算机代数，例如利用Matlab Symbolic Toolbox和 以下四个命令：

syms t1 t2 s1 s2 s12;

f=exp(0.5*(s1^2)*(t1^2)+0.5*(s2^2)*(t2^2)+s12*t1*t2);

d4f=diff(diff(f,t1,2),t2,2);

subs(d4f,{t1,t2},{0,0})

计算结果 是[eq19]使用 这个结果之间的协方差 $ W_ {ii} $ 和 $ W_ {jj} $ 导出为 如下：[eq20]

矩阵代数复习

本节回顾了矩阵代数的一些结果，这些结果用于处理 与Wishart发行。

外部产品

由于Wishart分布涉及多元正态的外部产品 随机向量，我们在这里简要回顾一下外部积的概念。

如果 X 是一个 Kx1 列向量 外部产品 的 X 本身就是 $ Kimes K $ 矩阵 A 从...的乘法获得 X 与它 转置：[eq21]

例 如果 X 是个 $ 2imes 1 $ 随机 向量[eq22]然后 它的外在产物 $ XX ^ {op} $ 是个 2元2元 随机 矩阵[eq23]

对称矩阵

A $ Kimes K $ 矩阵 A 是 对称的 当且仅 如果[eq24]即 当且仅当 A 等于其转置。

正定矩阵

A $ Kimes K $ 矩阵 A 据说是 正定 当且仅当 [eq25]对于 任何 Kx1 实向量 x 这样 $x eq 0$.

所有正定矩阵也是可逆的。

证明

证明是矛盾的。假设一个 正定矩阵 A 不可逆转。然后 A 不会是全等级，即会有一个向量 $x eq 0$ 这样 那[eq26]哪一个， 预乘 $ x ^ {op} $, 将 让[eq27]但 这是一个矛盾。

矩阵的痕迹

让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵并用 $ A_ {ij} $ 的 $left( i,j ight) $-th 进入 A （即， i-th 行和 $ j $-th 柱）。的 跟踪 的 A, 表示为 [eq28], 是的所有对角线项的总和 A:[eq29]

矩阵的向量化

给定一个 $ Kimes L $ 矩阵 A, 它的 向量化，表示为 [eq30], 是个 $ KLimes 1 $ 通过堆叠列获得的向量 A 在彼此之上。

例 如果 A 是一个 2元2元 矩阵[eq31]的 向量化 A 是个 $ 4imes 1 $ 随机 向量[eq32]

对于给定的矩阵 A, 向量化 A 通常将不同于其转置的向量化 $ A ^ {op} $. 的 转置置换矩阵 关联到 [eq33] 是个 $ KLimes KL $ 矩阵 [eq34] 这样 那[eq35]

克罗内克产品

给定一个 $ Kimes L $ 矩阵 A 和一个 $ Mimes N $ 矩阵 $ B $, 的 克罗内克产品 的 A 和 $ B $, 表示为 $澳元B $, 是一个 $ KMimes LN $ 具有以下矩阵 结构体：[eq36]哪里 $ A_ {ij} $ 是个 $left( i,j ight) $-th 进入 A.

参考文献

Ghosh，M.和Sinha，B. K.（2002）“ Wishart发行”， 美国统计学家, 56，100-101。

缪尔黑德（R.J. （2005年） 的方面 多元统计理论，威利。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "Wishart发行", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/probability-distributions/wishart-distribution.

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